Tag: Matematyka 1 poziom podstawowy Pazdro Oficyna Edukacyjna

8.31. W trójkącie dwa boki mają długość a i b, a Oblicz pole tego trójkąta. a) a = 8 cm, b = 7 cm , y = 60 degrees ° b) 

8.30. Kąty a iß w trójkącie na rysunku poniżej są ostre. Wyznacz ich miary, korzy stając z odpowiednich funkcji trygonometrycznych kątów ostrych. a) b) V3 213 c) d) sqrt(12) trójkąta, jeśli: V27 6 

8.29. W trójkącie ABC kąty a iß są a) sin alpha = 1/2 * i * c * t * g * beta = 1 cos alpha = (sqrt(2))/2 * i * c * t * g * beta = (sqrt(3))/3 c) . ostre. Wyznacz miary kątów tego b) sin alpha = (sqrt(3))/2 * i * t * g * beta = sqrt(3) d) tga = 1i * sin beta = (sqrt(2))/2 

8.28. Wyznacza a,a in(0^ ,90^ ) , wiedząc, że: a) tg a = 1 b) cos alpha = 1/2 c) sin alpha = 1/2 d) ctg alpha= sqrt 3 ,

8.27. Oblicz obwód czworokąta ABCD, korzystając z odpowiednich funkcji trygono metrycznych kątów ostrych. a) ABCD – równoległobok. 4 cm 120 (60^ 30 b) ABCD – trap , CDEF-kwadrat. 135 degrees 120 3 cm 30 2 cm 105 degrees 

8.26. Oblicz obwód trójkąta ABC, korzystając z odpowiednich funkcji trygonome trycznych kątów ostrych. a) 5 cm b) 60 degrees A 3 cm 130 6 cm 30 45 degrees 

8.25. Oblicz: a) (cos 45 degrees – cos 30 degrees)(cos 45 degrees + cos 30 degrees) b) (3 sin 45^ +tg 60^ )*(3 sin 45^ -tg 60^ ) .

c) ( sin 60^ +cos 30^ )^ 2 =(sin 30^ +cos 60^ ) d) ( – 60^ -sin 30^ )*(cos 60^ -ctg 30^ ) e) 4(ctg 45° + sin 60°) · (cos 30° + tg 45°) 2(tg 30° – sin 45°). (cos 45º- ctg 60°).

8.24. Oblicz: a) 4. cos 60 degrees * sin 30 degrees – cos 30 degrees * sin 60 degrees b) ctg 30^ * ctg 45^ :(ctg 60^ * tg 45^ ) c) 18* sin 30^ * t B 30^ :(cos 30^ * t B 60^ ) d) e) f) 6*(sin 30^ * cos 45^ * ctg 60^ ):(ctg 30^ * sin 45^ ) 12*(tg 60^ -cos 60^ )*(tg 30^ +cos 30^ ) (sin.45^ +ctg 45^ )*(6* sin 60^ -ctg 30^ ) .

8.23. Dane są długości boków aib trójkąta ostrokątnego oraz jego pole P. Wyznacz miarę kąta leżącego między danymi bokami. a) a = 10 , b = 8 , P=30, b) a = 8 , b = 7 , P=9,6 Wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa kątów 30 degrees , 45 degrees i 6O^

8.22. Dane są długości a i b dwóch boków trójkąta oraz miara kąta y między nimi. Oblicz pole tego trójkąta. a) a = 10 cm , b = 5 cm, y = 70 degrees b) a = 16 cm , b = 15 cm , y = 32 degrees 

8.21. Dany jest trójkąt prostokątny ABC, langle C|=90^ °. W tym trójkącie poprowadzo na że A * C ^ 2 = |AB||AD| . wysokość CD. Wykażemy, Oznaczmy | langle A|= alpha|| langle B|= beta . Wówczas | triangleleft BCD|= alpha i| langle DCA|= beta(dlaczego?) Obliczmy cos a na dwa sposoby. Z zależności w trójkącie prostokątnym ABC otrzymujemy równość cos alpha = |AC|/|AB| Z zależności w trójkącie prostokątnym ADC otrzymujemy zależność cos alpha = |AD|/|AC| Zatem |AC| |AB| = |AD| |AC| ,cZy|| |AC^ 2 =|AB|*|AD| Postępując analogicznie, wykaż, że: a) |BC| ^ 2 = |AB||DB| b) |CD| ^ 2 = |AD||DB|

8.20. Porównaj liczby: a) sin 20 degrees i sin 51 degrees lag 75^ i ctg 27^ g 18 degrees * i * sin 18 degrees ° b) cos 15 degrees * i * cos 62 degrees d) tg 26^ i tg 29^ f) cos 80^ l ctg 80^ . e 0

8.19. Z okna znajdującego się na wysokości h zmierzono dwa kąty a xi * beta (patrz ry sunek poniżej). 193 Jaka wysokość ma wieżowiec? 

8.18. Janek stoi na stromym brzegu jeziora, 16 m nad jego poziomem. Zauważył. płynie łódź, której kąt depresji ma miarę 21 degrees . W jakiej znajduje się łódź? że po jeziorze brzegu odległości od

8.17. Kąt wzniesienia baszty, zmierzony w odległości 80 m od jej podstawy, ma 

8.16. Drzewo mające 14 m wysokości, rosnące na równinie, rzuca cień długości

8.15. Promienie słoneczne padają pod kątem 16 degrees . Oblicz długość cienia, który rzu ca maszt mający 12,5 m wysokości.

8.14. W równoległoboku ABCD wysokości mają długość 4 cm i 5 cm, a kąt rozwarty ma 115 degrees . Oblicz obwód tego równoległoboku z dokładnością do 0,1 cm. 

8.13. W pewnym kąt a. Oblicz obwód tego prostokąta. a) d = 9 cm , cos alpha = 0, 6 c) d=2 sqrt 17 cm,tg a=0,25 b) d) d=2 1 3 cm,sin alpha= 1 7 , d = 4sqrt(5) * c ctga = 3

8.12. W trójkącie prostokątnym naprzeciw kąta ostrego długości a. Oblicz długość pozostałych boków trójkąta. a) c) q = 40 cm , sin alpha = 0.8 a = 3 cm, cos alpha = 8/17 b) a= 5 cm, sin a = (sqrt(3))/2 d) a= sqrt 6 cm. , cos a = 0, 5 prostokącie przekątna ma długość d i tworzy z jednym z boków

8.11. W trójkącie prostokątnym naprzeciw kata ostrego a leży przyprostokątna długości a. Oblicz długość pozostałych boków trójkąta. a = 4 cm, tg * alpha = 8/15 b) a = 10 cm , ctgx = 2, 4 d) a = 6 cm , ctg * alpha = sqrt(3) a leży przyprostokątna a) c) a = 7 cm , tg * alpha = 1 

8.10. b) cos alpha = 5/6 c) tg * alpha = 1/3 Zbuduj taki kąta alpha, alpha in(0^ ,90^ ) , dla którego: a) sin alpha = 2/(sqrt(5)) b) cos alpha = 1/(2sqrt(2)) tga = sqrt(7) d) ctga = 4 . d) ctg * alpha = 4/(sqrt(6)) 

8.9. Zbuduj taki kąta, alpha in(0^ ,90^ ) , dla którego: a) sin alpha = 3/5 

8.8. W trojkącie prostokątnym przyprostokatna przeciwległa katowi a ma dtu gość a, druga przyprostokątna ma długość b, a przeciwprostokątna c. Wiadomo, że (b ^ 2 + c ^ 2)/(6ac) sin alpha = 2/3 Oblicz wartość wyrażenia

8.7. Oblicz wartość wyrażenia, wykorzystując dane 2 rysunku obok: b) (os * alpha + sin alpha)/(sin alpha – cos alpha) (18a + 2ctga)/(sin a * cos alpha) 7 VE

8.6. Oblicz wartość wyrażenia, wykorzystując dane z rysunku obok a 1 4* sin^ 2 a* cos^ 2 a+tg^ 2 a* ctg^ 2 a b) (sin alpha + tg * alpha) ^ 2 

8.5. Oblicz wartość podanego wyrażenia, wykorzystując dane z rysunku obok. a) 1 + 2sin alpha * cos alpha b) (tga * cos a + ctga * sin alpha) ^ 2 

8.4. Oblicz wszystkie wysokości w trójkącie na rysunku poniżej z dokładnością do 0,1 cm: al 10 cm b) c) 10 cm 20 110/10 cm 56 62 

8.3. Korzystając z danych w trójkącie na rysunku poniżej, oblicz wysokość h 0, 1cn b) 80 h 3 ) c) 6 cm 209 32 degrees 20 cm 60 z do 

8.2. Oblicz długość boku x, zaznaczonego na rysunku poniżej, z dokładnością do 0,1 cm (patrz tabela wartości funkcji trygonometrycznych, str. 261) . a) b) c) 65 degrees 15 cm 10 cm 24 20 cm 20 d) 12 cm e) 1 cm f) X 13 63 degrees 7 cm 58 degrees X

8.1. Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta a w trójkącie prostokątnym na rysunku poniżej: a) b) c) 17 5 12 d) e) f) 8 12 2a 

40. Punkt S jest środkiem ciężkości trójkąta ABC, punkty A 1 ,B 1 , C 1 są środkami K, L, M są środkami odcinków SA, SB, SC. Udowodnij, że boków, a punkty Delta A,B,C 1 equiv Delta KLM .

1. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość: |AB| = 32 cm , AC = 24 cm. Symetralna boku BC przecina ten bok w punkcie D, bok AB w punkcie Ei urzedłużenie boku AC w punkcie F. Udowodnij, że trójkąt EBD jest podobny do trojkata EAF i oblicz skalę tego podobieństwa. D

38. W prostokącie ABCD poprowadzono odcinek AE prostopadły do przekątnej DB i punkt E należy do boku DC prostokąta. Przekątna DB przecina się z odcinkiem AE Wounkcie P. Wiedząc, że |AP| = 8 cm, |PE| = 2 cm , oblicz: a) drugość przekątnej prostokąta b) długość boków prostokąta. 

37. Przez punkt K przecięcia się przekątnych AC i BD trapezu poprowadzono prostą m prostopadła do obu podstaw trapezu, która przecina krótszą podstawę DC trape zu w punkcie L, a dłuższą podstawę AB w punkcie M. Wiedząc, że LM = 12 cm * o * r * a * z , že Mt =2 cm i/LC=3cm , oblicz długość przekątnej AC trapezu. 

36. Trójkąt ABC jest podobny do trójkąta A 1 B 1 C 1 , a jego obwód jest o 25% krótszy od obwodu trójkąta A 1 B 1 C . Podaj, w jakiej skali trójkąt A 1 B 1 C jest podobny do trójkąta ABC

35. Obwód trójkąta A 1 B 1 C podobnego do trójkąta ABC w skali 0, 25 jest o 12 cm krótszy od obwodu trójkąta ABC. Wyznacz obwody tych trójkątów. 

34. Boki trójkąta ABC mają długość: wykaż trójkąt ABC jest prostokątny. |AB| = 4, 8 cm , |BC| = 6, 4 cm oraz M W N AC = 8 cm trójkąt ABC jest podobny do trójkąta prostokątnego, w którym jedna wykaż, że 2 przyprostokątnych stokątnej. Podaj jest równa 8 cm, a druga jest o 4 cm krótsza od przeciwpro skalę tego podobieństwa. 

33. Przez punkt mathbb W w którym przecinają się dwu sieczne kątów AIB trójkąta ABC, prowadzimy rów do boku AB. Ta równoległa przecina proste nolegla AC / B * C odpowiednio w punktach MiN. Wykaż, że MN = |AM| + |BN| . D 

32. W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku AC. Z punktu D poprowadzono DE perp AB oraz E in AB,Wyka polowie wysokości CF. D

31. W trójkącie ABC boki AC i BC mają taką samą dłu gość. Na półprostej BC poza bokiem BC zaznaczono punkt D tak, że prosta przechodząca przez punkt Di pro stopadła do boku AB przecina się z bokiem AC w punkcie E. Udowodnij, że trójkąt CDE jest równoramienny. E E!

30. W trójkącie prostokątnym równoramiennym środkowa poprowadzona na prze ciwprostokątną ma długość 6 cm, z wierz chołka kąta ostrego tego trójkąta. Oblicz długość środkowej poprowadzonej D 

29. W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna jest o ciwprostokątnej. Druga przyprostokątna ma długość 9 cm. Oblicz: 3 cm a) obwód trójkąta krótsza od prze b) odległość punktu przecięcia środkowych trójkąta od wierzchołka kąta prostego. 

28. Przekątne równoległoboku mają długość 10 cm i 8 cm. Wykaż, że obwód czwo D rokąta powstałego z połączenia kolejno środków boków tego równoległoboku jest równy 18 cm.

 27. W wiedząc, że wyraża się ona liczbą całkowitą. 

 26. Dany jest trójkąt równoramienny ABC S 1 |AB|=|BC| , o obwodzie 200 cm. W trójka cie tym poprowadzono środkowe AD I CE. Obwód trójkąta ACE jest o 20 cm większy od obwodu trójkąta ABD. Oblicz długości boków trójkąta ABC. trójkącie dwa boki mają długość 3,15 i 0,78. Wyznacz długość trzeciego boku, 

25. Rozpatrujemy trójkąty, których boki są kolejnymi liczbami naturalnymi, a ob jest mniejszy od 17. wód a) Wyznacz długości boków trójkąta, który ma największy obwód. b) Dla wyznaczonego trójkąta oblicz długość odcinka łączącego środki dwóch krót szych boków. 

24. Oblicz długości boków trójkąta równoramiennego ABC wiedząc, że |AB| = 2a + 5 , |BC| = a + 6, |CA| = 4a – 1 . 

23. W trójkącie ABC przedłużono bok AB poza wierzchołek Biodłożono odcinek BD, równy odcinkowi BC. Połączono punkty ci o wykaz, že |er[DA|= 1 2 |<CBA|. . 

22. W trójkącie ABC dwusieczna poprowadzona z wierzchołka C przecina przeciw legły bok w punkcie D. Wiedząc, że langle BDC|=100 ° i że odcinek CD jest równy jedne mu z boków wychodzących z wierzchołka , oblicz miary katów trójkąta ABC. D