Tag: Matematyka 2 poziom podstawowy Pazdro Oficyna Edukacyjna

5.14. Punkt Odległość tego punktu od początku układu współrzędnych jest równa r. Wyznacz bra P znajduje się na końcowym ramieniu kąta a w położeniu standardowym. kującą współrzędną punktu P i oblicz funkcje trygonometryczne kąta a, jeśli: a) P(- 3, y) , b) P(x, 2) , r c) P(x, 4) , alpha in(180^ ,270^ ); r= sqrt 13 ,a in(90^ ,180^ ); r = 5 , r=8,5 alpha in(0^ ,90^ ) r= , alpha in(270^ ,360^ ). d) P(4sqrt(3), y) 

5.13. Na końcowym ramieniu kąta a, umieszczonego w układzie współrzędnych w po tozeniu standardowym, znajduje się punkt P. Wyznacz odległość tego punktu od punktu o(0, 0) Następnie oblicz wartości funkcji trygonometrycznych kąta a-o ile istnieją. a- bullet a) P(12, 5) d) P(15, – 8) b) P(- 2, 2sqrt(3)) e) P(0, – 3) c) P(- sqrt(3), – sqrt(6)) f) P(- 5, 0) 

 5.12. Wykaż, że: a tg5^ * tg25^ * tg45^ * tg65^ * tg85^ =1 b) cos^2 (20 degrees) + cos^2 (40 degrees) + cos^2 (50 degrees) + cos^2 (70 degrees) = 2 =) sin^4 (20 degrees) + sin^4 (70 degrees) + 2cos^2 (20 degrees) * cos^2 (70 degrees) = 1 . ctg * alpha = 4 , to , 32* sin a-sin(90^ – alpha) 6* cos(90^ – alpha)+2* cos alpha =2 5

5 .11. Wykaż, że jeśli alpha in(0^ ,90^ ) oraz – 

5.10. W trójkącie prostokątnym przypro stokątne mają długość a i b, zaś przeciwpro stokątna ma długość c. Wykaż, że jeśli na przeciw boku a leży kąt a taki, że tg * alpha = 2 , to (a^ prime -c^ 2 )(b^ 2 -c^ 2 ) (a^ prime +b^ 2 +c^ 2 )^ 2 – 1 2

 5.9. Dwa kąty ostre trójkąta mają miary a i B. Wykaż, że jeśli cos beta = sqrt(3) * cos alpha , to ten trójkąt jest prostokątny, a długości . w stosunku 1 / (sqrt(3)) / 2 d) ctg * alpha = 1/3; tg * alpha = 2 sina oraz jego boków pozostają D 

5.8. Dana b) |<C|=90^ ,cos| triangleleft A|= 3 A jest jedna z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego a. Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych tego kąta. a) sin alpha = 7/25 b) cos alpha = 60/61 c) tg * alpha = 2 2/5 D 

5.7. Skonstruuj trójkąt prostokątny, w którym: a) | langle langle A|=90^ ,sin|<B|= 1 3 

5.6. W kość CD. Wyznacz kąty trójkąta ABC, jeśli: cos alpha = (sqrt(3))/2 h) ctg * alpha = 1 . trójkącie ABC kąty przy podstawie AB są ostre. Poprowadzono wyso a) |AC|=10,|CD|=5 sqrt 2 , | |BC| = 10sqrt(2) , |DB| = 6, |BC| = sqrt(48) . b) |AD| = 2

5.5. Wyznacz kąt az, alpha in(0^ ,90^ ), wiedząc, że: e) tg * alpha = sqrt(3) f) sin a = (sqrt(2))/2 g)

5.4. W prostokącie ABCD przekątne mają długość 4 cm i przecinają się pod kątem: a) 60 degrees Oblicz odległość punktu B od przekątnej AC. b) 45 degrees c) . 30 degrees

5.4. W prostokącie ABCD przekątne mają długość 4 cm i przecinają się pod kątem: a) 60 degrees Oblicz odległość punktu B od przekątnej AC. b) 45 degrees c) . 30 degrees

5.3. Oblicz: a) (cos 30 degrees – sin 45 degrees)(sin 60 degrees + cos 45 degrees) b) (3tg30^ -ctg 45^ )^ 2 -8* sin 30^ c) ( sqrt 2 * ctg 60^ + sqrt 3 * cos 45^ )(6tg*45^ – sqrt 72 * tg 60^ ) .

5.2. Średnica AB okręgu ma długość 10 cm. Cięciwa CD, prostopadła do średni cy AB, jest oddalona od punktu A o 9 cm. Oblicz: a) tangens kąta CBA b) sinus kąta CAB.

5.1. Oblicz obwód trójkąta ABC na rysunku poniżej z 70 % b) A c) h h = 10 cm 120 h = 5 cm dokładnością do 0,5 cm: h h = 9 cm 55 B 23 67^ – d) e) f) c 42 degrees 8 40 100 h h=3NCH/ 25 ^ 2 h=6 cm h h = 8 cm B 75 A

30. W trójkącie prostokątnym najkrótsza wysokość jest równa 15, a najkrótszy bok ma długość 17. Oblicz: a) długości pozostałych boków trójkąta, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, c) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

29. W trójkącie prostokątnym spodek najkrótszej wysokości dzieli przeciwprosto kątną w stosunku 9: 16. Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 25 cm, oblicz: a) długości boków tego trójkąta, b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. 

28. W trójkącie równoramiennym poprowadzono dwusieczną kąta wie, która podzieliła przeciwległe ramię na odcinki długości: 7 8/23 oraz lejno od wierzchołka między ramionami trójkąta. Oblicz: a) długość podstawy, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, c) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt. przy podsta 5 15 23 -k 0 – 

27. W |BC| = 12 cm oblicz długości odcinków: a) na jakie punkty styczności podzieliły bok AB, b) na jakie dwusieczna kąta ACB podzieliła bok AB.

26. W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długość: |Ac| = 6 cm . Oblicz: |AB| = 8 cm a) długość odcinka DE symetralnej boku BC, zawartego w trójkącie ABC, b) długość odcinka CF dwusiecznej kąta ACB. t rójkąt ABC wpisano okrąg. Wiedząc, że | |AB| = 20 cm, |AC| = 16 cm oraz 

25. W trójkącie ABC, w którym |AC| < |BC| , wysokość CD jest równa . Sy metralna boku AB przecina bok AB w punkcie E, a bok BC w punkcie F. Wiedząc, że |EF| = 3 cm , oblicz |AD| : DB. 

25. W trójkącie ABC, w którym |AC| < |BC| , wysokość CD jest równa . Sy metralna boku AB przecina bok AB w punkcie E, a bok BC w punkcie F. Wiedząc, że |EF| = 3 cm , oblicz |AD| : DB. 

24. W trójkącie prostokątnym ABC na rysunku obok punkt O jest środkiem dłuższej przyprostokątnej AB. Półokrąg o średnicy AB przecina przeciwprostokąt na BC w punkcie D. Wykaż, że jeśli |AD| = |DO| , to: a) |AC| = 2|CD| b) 4|CD||DB| = 3 * |AC| ^ 2 D B beta B

23. Z punktu P, którego odległość od środka O okręgu jest równa 15 cm, popro wadzono sieczną, przecinającą okrąg w punktach A i B. Wiedząc, że promień okręgu jest równy 9 cm oraz |PA| / |AB| = 1/3 , oblicz długość cięciwy AB. D 

22. Promienie dwóch okręgów są równe: r 1 =2m-1 oraz r 2 =3m . Odległość między środkami tych okręgów jest równa 14. a) Wyznacz liczbę m, dla której te okręgi mają jeden punkt wspólny. Dla wyznaczo nej liczby m podaj promienie tych okręgów. b) Dla jakich wartości m okręgi te mają dwa punkty wspólne? 

21. Dwa okręgi o(O 1 ,r)i o(O 2 ,R) , gdzie r < R , są styczne wewnętrznie w punk cie A oraz |O 1 O 2 |=4 cm . a) Wyznacz promienie tych okręgów wiedząc, że ich suma jest równa 10 cm. D b) Przez punkt A poprowadzono prostą, która przecięła mniejszy okrąg w punkcie B, a większy w punkcie C. Wykaż, że O 1 B||O 2 C . Wiedząc dodatkowo, że |BC| = 6 cm oblicz AB. 

20. Punkty A, B, D n ależą do okręgu o środku w punkcie O. Sieczne AB i DO przecinają się w punkcie C, jak na rysunku obok. Wykaż, to |<DOA|=3| triangleleft COB| . że jeśli |BC| = |BO| 

19. Na rysunku obok punkty A, B, C należą do okręgu o środku w punkcie O oraz dane są kąty środkowe a i B. D a) Wykaż, że jeśli alpha = 54 degrees * i * beta = 72 degrees , to OA||BC . b) Oblicz miary kątów trójkąta ABC w przypadku, gdy alpha = 50 degrees , beta=78^ . D

18. Punkty A, B, C należą do okręgu oraz | angle CBA|=| triangleleft ACB| . Przez punkty 8 i C poprowadzono styczne do okręgu, które przecięły się w punkcie D. Wied że 2| triangleleft CDB|=| triangleleft CBA| , oblicz miarę kąta między ramionami trójkąta ABC.

17. Dany jest okrąg o środku w Korzystając z danych na rysunku, oblicz a. p unkcie O i styczna do tego okręgu w punkcie P. b) 55 degrees a) 51 *0; 75\%^ 2 P 

16. Na rysunku obok proste AB, BC, CA są stycznymi do danego okręgu odpowiednio w punktach L, M, K, przy czym |CM|=x,; |MB| = y, |KA| = z . Wiadomo, że x + y + z = 10; 3x = 2(y + z) Oblicz długość boku AB. cm oraz 

15. Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny jest równy 3 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 8,5 cm. Suma długości przyprosto kątnych tego trójkąta wynosi: A. 17,5 cm B. 20 cm C. 23 cm D. 26 cm Zadania powtórzeniowe do rozdziału 4. 

14. W trójkącie ABC, w którym |AC|=|BC|=36 cm, poprowadzono dwusieczna kąta CBA, która przecięła ramię AC w punkcie D. Jeśli C |AB| = 28, 8 cm D: |AD|=4:5,to: A. B. |AB| = 40 cm C. |AB| = 45 cm D. |AB| = 54 cm 

13. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 2 cm. W trójkąt wpisano okrąg. Punkt D |AD| jest punktem styczności tego okręgu z |DC| = 2/3 , to obwód trójkąta ABC jest równy: ramieniem AC. Jeśli A. 12 cm B. 9 cm C. 8 cm D. 7 cm D. 5 cm

12. W okręgu poprowadzono dwie cięciwy. Punkt przecięcia tych cięciw dzieli jedną z nich na odcinki długości 8 cm i 2 cm, a drugą na odcinki równej długości. Długość drugiej cięciwy jest równa: A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 12 cm 

11. Bok AB trójkąta ABC ma długość 24 cm. Punkt przecięcia symetralnych boków BC i AC leży w odległości 5 cm od boku AB. Zatem promień okręgu opisanego na trójkącie ABC jest równy: A. 13 cm B. 12 cm C. 11 cm D. 10 cm 

10. Na rysunku obok trójkąty ABC i ADC są wpisane w okrąg o środku w punkcie O. Odcinek CD jest średnicą okręgu. Jeśli |AC| = 2 oraz |<ABC|=45^ . to średnica tego okręgu ma długość: A. sqrt(2) C. 2sqrt(2) B. 2 D. 4 

9. Boki trójkąta mają C . a * sqrt(3) = 4R promień okręgu opisanego D . a * sqrt(3) = 2R długość: 6 cm, 8 cm, 10 cm. Promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy: A. 2 cm B. 3 cm C. 4 cm 

8. Bok trójkąta równobocznego ma długość a, zaś na tym trójkącie jest równy R. Wówczas: A . sigma = 2R B. a = R * sqrt(3)

7. Na rysunku obok dany nych na A . alpha = 50 degrees C . alpha = 60 degrees rysunku wynika, że: B. są styczne wewnętrznie przecinają D. się jest okrąg o środku O i kąt a dopisany do okręgu. Z da B. alpha = 55 degrees D . a = 65 degrees 

6. Odległość między środkami dwóch okręgów jest równa 6. Jeśli promienie tych okręgów są równe oraz 2π, to okręgi te: A. są rozłączne wewnętrznie są rozłączne zewnętrznie C.

5. Dwa okręgi o promieniach R ir są współśrodko we, R > r . Cięciwa AB większego okręgu jest styczna do mniejszego okręgu. Jeśli R ^ 2 – r ^ 2 = 9 to: A. |AB| = 6 C. |AB| = 12 B . |AB| = 9 D . |AB| = 18 D . |AC| = 1 D. 10 60 degrees; 120^ prime O 130 degrees; o ^ r

4. Średnica AB okręgu ma długość 2. Jeśli długość cięciwy BC jest równa 1, to: A. |AC| = 2 B. | |AC| = sqrt(3) C. |AC| = sqrt(2) 

 3. Na rysunku obok dany jest okrąg o środku O, dwa kąty środkowe i kąt wpisany a. Wówczas: A. alpha = 110 degrees C. alpha = 125 degrees B . alpha = 120 degrees D . alpha=130^ . 

2. Kąt środkowy ma miarę 72 i jest oparty na tuku okręgu, mającym długość 4pi . Promień tego okręgu jest równy: A. 2 B. 4 C. 5

1. W trójkącie ABC na rysunku obok kąt przy wierzchołku A jest równy 60 degrees . Dwusieczna ką ta ACB przecina bok AB w punkcie D. Jeżeli |CD| = |DB| to kąt ACB ma miarę: A. 90° C. 70° B. 80° D. 60°

4.144. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 12. Dwusiecz na kąta BAC przecina bok BC w punkcie D, którego odległość od podstawy AB jest Wiedząc, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 3, oblicz: równa 4 4/11 a) długość odcinka AD b) wysokość CE. Test sprawdzający do rozdziału

4.143. W trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego podzieliła przeciw prostokątną na odcinki długości 3 cm i 4 cm. Oblicz: a) długości przyprostokątnych tego trójkąta, b) długość odcinka tej dwusiecznej, zawartego w trójkącie. 

4.142. Boki trójkąta mają długość: 15, 20, 25. Oblicz długość odcinka dwusiecznej tego trójkąta poprowadzonej z wierzchołka: a) największego kąta b) najmniejszego kąta.

4.141. W trójkącie prostokątnym ABC kąty ostre są równe: | angle B|=30^ | triangleleft C|=60^ Dwusieczna kąta ACB przecina bok AB w punkcie D. Wiedząc, że |AC| = 3 , oblicz: a) długość odcinka CD, b) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, c) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.