Tag: Matematyka 2 poziom podstawowy Pazdro Oficyna Edukacyjna

6.14. Korzystając z własności wektorów wykaż, że jeśli A(0, – 1), B(6, 1), c(3, 5) , D(- 3, 3) , to czworokąt ABCD jest równoległobokiem. D 

6.13. Dane są punkty: A(- 2, 0) , B(3, 1), c(4, 6), D(- 1, 5) ABCD jest rombem. . Wykaż, że czworokąt D 

6.12. Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A(- 2, – 3), B(4, 1), C(2, 4) jest prostokątny. D 

6.11. Wykaż, że trójkąt o wierzchołkach A(0, 2), B(6, – 2), c(7, 6) jest równoramienny. D 

6.10. W trójkącie ABC dane są wierzchołki: A(- 5, – 2), B(7, 4) , C(1, 7) . Na bokach D, E, F w taki sposób, AB, BC i AC tego trójkąta zaznaczono odpowiednio punkty że |AD|; |DB|=|BE|:|EC|=|CF|:|FA|=1:2 . Oblicz współrzędne tych punktów. D

6.9. Oblicz współrzędne a) A(0,0),B(9,0 ), C(0, 6) punktu 5 przecięcia środkowych w trójkącie ABC, jeśli b) A(- 4, 0), B(- 2, – 5), c(0, 2) c) A(- 2, 7) , B(1, 2), C(4, 0) d) A(- 4, – 6), B(2, – 11), c(5, 5)

 6.8. Wyznacz współrzędne punktów podziału odcinka AB: a) na cztery odcinki równej długości, jeśli A(- 5, – 7) b) na trzy odcinki równej długości, jeśli A(2, – 3) , B(3, 5) , 6(- 10, 3) , B(5, 15) . c) na sześć odcinków równej długości, jeśli A(- 1, 3) 

6.7. Dany jest trojkąt ABC, gdzie: A(- 4, – 1) , B(4, 5) , c(2, 9) . Oblicz długość środkowej: a) AD b) BE c) CF.

6.6. Oblicz długości boków równoległoboku ABCD, jeśli dane są dwa jego wierz chołki i punkt P przecięcia się przekątnych. a) A(4, – 6), B(9, – 6), P(7, – 2) b) A(- 3, – 5), P(2, – 1), D(- 1, 3)

 6.5. Oblicz długości przekątnych równoległoboku ABCD, jeśli: a) A(5, 1) , B(8, – 3), c(3, 9) b) A(- 4, – 5), B(5, – 3), D(- 3, 3) 6.6. Oblicz długości boków równoległoboku ABCD, jeśli dane są dwa jego wierz chołki i punkt P przecięcia się przekątnych. a) A(4, – 6), B(9, – 6), P(7, – 2) b) A(- 3, – 5), P(2, – 1), D(- 1, 3)

6.4. Dane są trzy wierzchołki równoległoboku ABCD. Oblicz współrzędne czwar tego wierzchołka oraz współrzędne punktu P przecięcia przekątnych, jeśli: a) A(4, 1), B(2, 6); C(- 8, 3) b) A(- 5, – 2), B(3, 1), D(- 2, 5) Narysuj równoległobok ABCD w układzie współrzędnych.

6.3. Dane są dwa wierzchołki równoległoboku ABCD i punkt P przecięcia się przekątnych. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków równoległoboku, jeśli: a) A(- 3, 5); B(- 2, – 1) Narysuj równoległobok b) B(4, – 2), C(2, 7), P(- 1, 2) , P(3, 1) ABCD w układzie współrzędnych.

6.1. Oblicz długość odcinka AB, jeśli: a) A(3, 7) , B(- 8, 7); B(- 7, – 6) c) A(1, 9) e) A(sqrt(5) + 2, sqrt(5)), B(1, – 1)

1. Kąt a znajduje się w układzie współrzędnych w położeniu standardowym. Punkt P(- 5, 12) należy do drugiego ramienia tego kąta. Zatem: A. cos a = – 5/13 B. sin alpha = – 12/13 C . tg * alpha = – 5/12 D. ctg * alpha = – 12/5 

5.49. Wyznacz alpha, alpha in(0^ ,360^ ); cos a = – (sqrt(3))/2 * i * sin alpha < 0 c ) a) ctg * alpha = – 1i * sin alpha > 0; cos alpha = (sqrt(2))/2 * i * sin a < 0 e) b) gamma = 30 degrees d) tg * gamma = – 1 wiedząc, że: b) sin alpha = 0i * cos alpha = – 1 d) f) t mathbb R alpha=- sqrt 3 3 i cos alpha>0 . tg * alpha = – sqrt(3) * i * sin alpha > 0 Test sprawdzający do rozdziału 5

5.48. Kąty trójkąta mają miary: a, beta, y. Oblicz funkcje trygonometryczne kąta jeśli: a) gamma = 60 ^ c c) cos gamma = (- sqrt(3))/2

5.47. Wiedząc, że alpha epsilon(0^ ,90^ ) cup(90^ ,180^ ) , doprowadź poniższe wyrażenia do najprostszej postaci. a) sin(180 degrees – alpha) * cos(90 degrees + alpha) – cos^2 (180 degrees – alpha); sin(90^ + alpha)* t B (180^ – alpha)+cos(180^ – alpha)* ctg(90^ + alpha) b ) c) cos(90 degrees – alpha) * sin(180 degrees – alpha) – sin(90 degrees – alpha) * cos(180 degrees – alpha) d) tg * (90 degrees + alpha) * t * g * (180 degrees – alpha) + ctg * (90 degrees – alpha) * t * g * (90 degrees – alpha)

5.46. Oblicz bez użycia tablic trygonometrycznych i kalkulatora. a) 2* cos 120^ +4* tg 210^ * sin 120^ c) cos 210^ * ctg 210^ +sin 315^ * cos 315^ e) sin 180 degrees + cos 90 degrees + cos 180 degrees + sin 270 degrees b) 3* tg 225^ * cos 300^ +sin 150^ d) sin 150^ * tg 225^ +sin^ 2 300^

5.45. Oblicz b) cos 240 degrees * sin 180 degrees + cos 0 degrees c) sin^2 (217 degrees) + cos^2 (127 degrees) + 2sin 37 degrees; .os 127^ d) tg 225^ -ctg 135^ -sin0^ e) cos 0^ +sin 90^ -sin 270^ -tg 180^ 

5.44. Porównaj liczby x i y. a) x = sin 135 degrees , y=tg^ 2 150^ c) x x= 1 ctg120^ ,y= 1 cos135^; B – ((sin 50 degrees – 2cos 135 degrees)/(461.20 degrees)) ^ 2; d=tg 150^ * cos 30^ +sin 90^ . b) x = – sqrt(3) * cos 120 degrees d) x = 4 ^ sin 150 degrees , y= y = sin 120 degrees; y = (1/2) ^ (3cos 120 ^ 8) bez użycia tablic trygonometrycznych i kalkulatora. a) 4* sin 300^ * cos 330^ * ctg 315^ 

5.43. Dane są liczby: a=sin 120^ +cos 150^ -2* tg 45^; c = (cos 150 degrees + sin 135 degrees)(cos 30 degrees + sin 45 degrees) Która z tych liczb jest liczbą wymierną?

5.42. Oblicz, b) tg 120^ * ctg 30^ +cos^ 2 135^ c) (cos 120^ -tg150^ )^ 2 d) ( (sin 135^ -tg120^ )*(cos 135^ -ctg150^ ) .

5.41. Czy cos a może się równać: a)- sqrt 7 2; 1/(sin beta) to b) d) dla pewnego kąta B dla pewnego kąta B?

stosując wzory redukcyjne: a) sin 120^ * cos 150^ +tg 135^ 

5.40. Czy sin a) (sqrt(5))/2; – 1/(sin beta) a może się równać: b) d) (- sqrt(15))/4; tg * beta + ctg * beta dla pewnego kąta B? 3/(sqrt(10)); z*beta dla pewnego kąta B

5.39. c) cos alpha = – 1/3 * i * t * g * alpha = – 2sqrt(2); sin alpha + cos alpha = 1 1/3; tg alpha+ctg alpha=2 1 6 , , który spełnia następujące warunki: b) sin alpha = – 2/(sqrt(5)) * i * cos a = (sqrt(5))/5 d) tg * alpha = sqrt(6) * i * c * t * g * alpha = (sqrt(6))/12 Jeśli tak, to do której ćwiartki układu współrzędnych należy końcowe ramię kąta a w położeniu standardowym?

5.38. Wykaż, że jeśli alpha in(0^ ,90^ ) cup(180^ ,270^ ) oraz t * g ^ 2 * alpha + ct * g ^ 2 * alpha = 2 25/36 Zbadaj, czy istnieje kat alpha, alpha in langle0^ ,360^ ) a) sin a = (sqrt(3))/5 * i * cos a = – 4/5

5.37. Wykaż, że jeśli alpha in(0^ ,90^ ) oraz sin a * cos a = 7/18 to D

5.36. Wiedząc, że tg * alpha + ctg * alpha = 4 , oblicz: a) t * g ^ 2 * alpha + ct * g ^ 2 * alpha b) t * g ^ 4 * alpha + ct * g ^ 4 * alpha d) sin^4 alpha + cos^4 alpha c) (tg * alpha – ctg * alpha) ^ 2 D 

5.35. Wiedząc, że sina a) sin a cos a sin alpha * cos alpha b) (cos alpha – sin alpha) ^ 2 

5.34. Wiedząc, że a jest kątem rozwartym oraz a) sin a * cos alpha b) sin alpha – cos alpha; sin alpha + cos alpha = 7/13 c) sin a, , oblicz: . cos alpha; ct * g ^ 2 * alpha = 100

0s * alpha = 1/(sqrt(2)) oblicz: sin alpha + cos alpha

5.33. Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznymi, jeśli alpha in(0^ ,90^ ) cup(90^ ,180^ ) . a) c) e) cos alpha * (1/(cos alpha) – cos alpha) = sin^2 c; 2/(sin^2 alpha) – 1 = 1 + 2ct * g ^ 2 * alpha; t g a*(1+ctg^ 2 alpha) 1+tg^ 2 alpha =ctg alpha b) d) 1 – sin alpha = (ctg * alpha – cos alpha)/(ctg * alpha); 1/(1 – cos alpha) + 1/(1 + cos alpha) = 2/(sin^2 alpha); f) ctg alpha*(1+tg^ 2 alpha) 1+ctg^ 2 alpha =tg alpha 

5.32. Sprawdź, czy podane równości są tożsamościami trygonometrycznymi, jeśli alpha in(0^ ,90^ ) cup(90^ ,180^ ) . a) 1 – 2sin^2 alpha = 2cos^2 alpha – 1; (sin alpha + cos alpha)/(cos alpha) = 1 + tg * alpha; (sin alpha + tg * alpha)/(sin alpha) = 1 + 1/(cos alpha) b) cos^2 alpha – sin^2 alpha = 2cos^2 alpha – 1 d) (sin alpha + cos alpha)/(sin alpha) = ctg * alpha * (1 + tg * alpha); cos alpha+ct B alpha cos alpha =1+ 1 sin alpha e) 

5.31. Oblicz: , jeśli ctg * alpha = – 2 . sin^2 alpha = 0, 25 jeśli jeśli b) 2* cos alpha+sin alpha i; (3sin alpha + 4cos alpha)/(sin alpha – 2cos alpha) d) tg * alpha , jeśli alpha in(0^ ,90^ ) oraz 4sin^2 alpha = 3cos^2 alpha , jeśli alpha in(90^ ,180^ ) oraz 5cos^2 alpha = 2sin^2 alpha b) ctg * alpha a) c) tg alpha, jeśli alpha in(180^ ,270^ )oraz 9* sin^ 2 alpha-5* cos^ 2 alpha=2 , jeśli alpha in(270^ ,360^ )oraz 4* cos^ 2 alpha-sin^ 2 alpha=3 . d) ctg alpha. 

5.30. Kąt a jest rozwarty. Oblicz wartość wyrażenia: a) cos alpha – sin^2 alpha jeśli cos^2 alpha = 0, 81 c) tg * alpha – 6ctg * alpha , jeśli t * g ^ 2 * alpha = 144 

5.29. Oblicz wartość wyrażenia: a) 4* sin alpha-5* cos alpha cos alpha+3* sin alpha , j eśli tg * alpha = 5 b) (- 3cos alpha + 6sin alpha)/(8sin alpha + 3cos alpha) 

5.28. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta a, alpha in langle0^ ,360^ ) , jeśli: a) cos alpha = 5/13 b) sin alpha = – 60/61 c) ctg * alpha = 3 d) ctg * alpha = 45/28

5.27. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta a ) sin alpha=- 5 13 i alpha in(180^ ,270^ ) c) tg * alpha = – 12/5 * i * (270, 360) b) a, jeśli: ctg alpha= 8 15 i alpha in(180^ ,270^ ) d) cos alpha= 2 3 i alpha in(270^ ,360^ ) .

5.26. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych, wiedząc, że alpha in(0^ ,180^ ) oraz: a) tg * alpha = 1/2 b) cos a = – 24/25 c) sin alpha = (sqrt(5))/3 d) ctg alpha=- 11 60 , 

5.25. Oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych kąta a, jeśli alpha in(90^ ,180^ ) oraz: a) sin alpha = 0, 8 b) cos alpha = – 1/4 c) tg * alpha = – 1/3 d) . ctg * alpha = – 7 

5.24. Skonstruuj w układzie współrzędnych kąt o takiej mierze , że: alpha b) cos alpha = – 2/7 * i * c * t * g * alpha > 0 d) ctg * alpha = – sqrt(2) * i * cos alpha > 0 a ) sin alpha = 5/6 * i * t * g * alpha < 0 c ) tg * alpha = 2 1/3 * i * sin a < 0 Podstawowe tożsamości trygonometryczne

5.23. Skonstruuj w układzie współrzędnych kąt o mierze a, wiedząc, że: a) sin a = 1/4 b) cos alpha = – 2/5 c) tg * alpha = 3 1/2

5.22. Wykaż, że jeśli alpha in langle0^ ,360^ ) oraz: a) sin alpha = cos alpha , to alpha in\ 45^ ,225^ \ 

5.21. Kąt a znajduje się w układzie współrzędnych w Punkt P(x, y) wybrano na końcowym ramieniu tego kąta w odległości r od punk tu o(0, 0) Oblicz współrzędne punktu P, jeśli: położeniu standardowym. b) ctg * alpha = – 3 , sin alpha > 0 d) , r r = 5; tg * alpha = 4/5, sin alpha > 1; r = (sqrt(41))/3 , b) sina = – cosa, to sin alpha = – cos alpha; alpha in\ 135^ ,315^ \ a) tg alpha= 2 3 ,cos alpha<0,; r = sqrt(13) c) tg * alpha = – 2/5, cos a > 0, r = (sqrt(29))/5 D 

5.20. Kąt a jest ostry, Jaką wartość: dodatnią czy ujemną, ma poniższe wyrażenie? a) sin(90 degrees + alpha) * cos(180 degrees + alpha) + tg * (270 degrees + alpha) b) cos(90 degrees – alpha) * cos(180 degrees – alpha) * sin(360 degrees – alpha) c) ctg * (270 degrees + a) + sin(180 degrees + alpha) d) cos[(180 degrees + alpha) + sin(270 degrees + alpha)] * t * g * (180 degrees – alpha) 

5.19. W której ćwiartce układu współrzędnych znajduje się końcowe ramię kąta w położeniu standardowym, jeżeli: a) sin alpha < 0i * cos alpha < 0 b) sin alpha < 0itg * alpha < 0 d) cos alpha < 0itg * alpha < 0 f) cos alpha>0 i tg alpha<0. c) tg * alpha > 0ictg * alpha > 0 e) sin alpha < 0i * cos alpha > 0 

5.18. Oblicz-korzystając z definicji – wartości funkcji trygonometrycznych kąta o, jeśli: a) alpha = 210 degrees b) a alpha = 240 degrees c) alpha = 135 degrees d) alpha = 330 degrees . 

5.17. Jaką miarę ma kat a, jeśli alpha in(0^ ,360^ ) oraz: alpha; cos alpha = 0 a) sin alpha = 1 b) tg * alpha = 0 c) . Dla wyznaczonej miary a oblicz pozostałe wartości funkcji trygonometrycznych tego kąta, o ile istnieją. 

5.16. Kąt a znajduje się w położeniu standardowym. Punkt p(x, y) wybrano na koń cowym ramieniu tego kąta, w odległości r od punktu o(0, 0) Oblicz współrzędne pu nktu P, jeśli: a) alpha in(180^ ,270^ ); tg * alpha = 2; tg * alpha = – 3 , b) alpha in(90^ ,180^ ) c) alpha in(270^ ,360^ ) d) alpha in(0^ ,90^ ) , r = 2sqrt(5); r = sqrt(10); r = 15; ctg * alpha = – 4/3; ctg * alpha = 1/2; r = 5

5.15. Kąt r = 7 a znajduje się w położeniu standardowym. Punkt P(x, y) leży na koń cowym ramieniu tego kąta, w odległości r od punktu o(0, 0) Oblicz współrzędne pu nktu P, jeśli: a) alpha in(0^ ,90^ ) , sin a= sqrt 2 2 , , cos alpha = – 2/3 b) alpha in(90^ ,180^ ) c) alpha in(180^ ,270^ ); cos alpha=- 3 5 , , sin alpha = – 1/2 d) alpha in(270^ ,360^ ); r = 6; r = 9; r = 10; r=2 sqrt 3 .