Tag: Matematyka 2 poziom podstawowy Pazdro Oficyna Edukacyjna

6.63. Dane sa punkty A(- 6, 3) oraz B(0, 5); x – 2y + 4 = 0 współrzędne punktu C, który jest równoodległy od punktów A i B. . Na prostej k: , c(6, 2) . Wyznacz:

 6.62. Zapisz równania dwóch krzywych znajdujących się na rysunku poniżej. Na stępnie oblicz współrzędne punktów wspólnych tych krzywych, wiedząc, że rysunek przedstawia: k l para

6.61. Wyznacz współrzędne punktów wspólnych (o ile istnieją) prostej boli p. a) k:x+y=0, b) k / y = x + 3 , c) k: x-2y+7=0, P p d) k / 2 * x – y – 11 = 0 p: y = x ^ 2 – 2 p: y = – 2x ^ 2 + 8x – 4; yzy = 1/2 * (x + 1) ^ 2 , p / y = x ^ 2 – 6x + 5

6.60. Wyznacz współrzędne punktów wspólnych (o ile istnieją) prostej k i okręgu o. a) k y= 1 3 x-1, b) k: y = 1 , 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 = 9 o: (x + 5) ^ 2 + y ^ 2 = 1 o: x ^ 2 + y ^ 2 + 6x + 2y = 0 0: x ^ 2 + y ^ 2 + 8x + 4y + 19 = 0; k / x + y = – x – 8 , d) k: x + 2y + 4 = 0 , Czy prosta k jest sieczną okręgu, jest rozłączna z okręgiem, czy jest styczną do tego okręgu?

 6.59. Przedstaw interpretację graficzną rzędnych. Następnie rozwiąż ten układ algebraicznie. danego układu równań w układzie współ b) d) x ^ 2 + y ^ 2 – 6x – 4y + epsilon, \qquad x + 3y = 4; y + x ^ 2 + 8x = – 14, \qquad y = 4x + 22 =0 a) c) 3x + y = – 13, \qquad y = x ^ 2 + 6x + 7; x ^ 2 + y ^ 2 – 4x – 2y + 1 = 0, \qquad y = 2x – 5

6.58. Rozwiąż algebraicznie układ równań i przedstaw jego interpretację graficzną. a) [(x-1)^ 2 +(y-3)^ 2 =8 x-2=y (x + 3) ^ 2 + (y – 2) ^ 2 = 17, \qquad 5x + 3y = – 26 b) d) (x – 3) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 1, \qquad x + y = 6; aligned 3)^ 2 +(y+\\ y=-2 aligned; )^ 2 =8; (y + 2) ^ 2 = ((x+3 4x+

6.57. Rozwiąż algebraicznie układ równań i przedstaw jego interpretację graficzną. a) x – y = 1, \qquad y = x ^ 2 – 6x + 9; y = – 0, 5x ^ 2 – 2x + 3, \qquad – 2x + y = 11 b) d) 2x – y = 0, \qquad y = – 2 * (x – 1) ^ 2 + 6; y = 1/4 * x ^ 2 + x, \qquad – 5x + 2y = – 4

6.56. Udowodnij, że jeśli a + b, to równanie a ne b; x^ 2 +y^ 2 -ax+2by-0,75a^ 2 +2a 0 opisuje okrąg. Podaj współrzędne środka S i promień r okręgu.

6.55. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A, B, C, jeśli: a) A(- 1, 0), B(7, 0), c(0, 1); C(9, 1) c) A(1, 5), B(8, – 2) , b) A(1, 3), B(5, 1), C(4, 4) d) A(- 14, – 1), B(3, 16), c(11, 4) D 

6.54. Napisz równanie okręgu przechodzącego przez punkty A i B, jeśli jego śro dek należy do prostej k. a) A(5, 10), B(3, 12), k : y = – 2x – 2 c) A(3, 0), B(4, 1), k / y = 2x + 4 b) A(6, 4) , B(- 1, 3); 3),k:y= 1 2 x-1 1 2 d) A(7,4),B(-5,-12),k:; y = x – 5

 6.53. W prostokątnym układzie współrzędnych zilustruj zbiory: A=\ (x,y):x in R^ y in R^ x^ 2 +y^ 2 +6x-8y+21=0\; B=\ (x,y):x in R^ y in R^ x^ 2 +y^ 2 +2x+2y-14=0\ , a następnie wyznacz zbiory: A cup B , A-B,B-A,A cap B . 

6.52. Punkt A należy do okręgu o środku w punkcie S. Napisz równanie tego okręgu. a) S(0, 0) , A(3, 4) c) S(- 3, 2), A(3, 10) b) S(2, 1) , A(4, 2) d) S(- 2, 1), A(4, 7) 

6.51. Dane jest równanie okręgu oraz punkty A, B, C. Sprawdź algebraicznie, które narysuj okrąg w układzie współrzęd tych punktów należą do okręgu. Następnie z nych i zaznacz punkty A ,B,C . A(- 1, 7), B(1, 3), C(- 2, 6) b) x ^ 2 + y ^ 2 + 8x + 2y + 16 = 0; A(- 4, 0), B(- 3, – 2), c(- 5, – 1) a) (x + 4) ^ 2 + (y – 3) ^ 2 = 25 , 

 6.50. Czy równanie x ^ 2 + y ^ 2 – 6x + 2y + 10 = 0 opisuje okrąg? Odpowiedź uzasadnij 

6.49. Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu opisanego równaniem: a) x ^ 2 + y ^ 2 – x – 0, 5y – 59/16 = 0 c) x ^ 2 + y ^ 2 + x – 1/2 * y – 11/16 = 0 b) x ^ 2 + y ^ 2 – sqrt(8) * y – 6 = 0 d) x ^ 2 + y ^ 2 – 3x + y – 1, 5 = 0 

6.48. Wyznacz współrzędne środka i promień okręgu opisanego równaniem: a) x ^ 2 + y ^ 2 – 2x – 4y – 4 = 0 c) x ^ 2 + y ^ 2 – 8x + 7 = 0 e) x ^ 2 + y ^ 2 – 2x – 6y + 9 = 0 b) x ^ 2 + y ^ 2 + 6x + 10y + 33 = 0 d) x ^ 2 + y ^ 2 – 2sqrt(3) * y – 6 = 0 f) x ^ 2 + y ^ 2 + 4y – 5 = 0 i prze

6.47. Poniższe równania opisują okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Podaj współrzędne punktu S i promień tego okręgu. a) x ^ 2 + y ^ 2 = 1 c) (1 + x) ^ 2 + (2 – y) ^ 2 = 25 b) (x – 1) ^ 2 + y ^ 2 = 2, 25; (- x – 3) ^ 2 + (- 1 – y) ^ 2 = 81 d) 

6.46. Napisz równanie okręgu o środku w punkcie S i promieniu r w postaci kanonicznej. a) S(0, 0); r = 3 d) S(- 3, 1) , r = sqrt(2) b) s(0, – 2); r = sqrt(5) e) S(3, – 2), r = 1/2 c) S(4, 0); r = 2, 5 f) S(- sqrt(3), – sqrt(2)) , r = r = 4

 6.45. Wyznacz równanie ogólne symetralnej A(- 4, 5) , B(6, 1) c) A(- 1, – 2) , B(3, 2) a) Równanie okręgu odcinka AB. b) A(0, 7); B(0, – 3) d ) A(- 1, 8), B(- 5, 8) 

6.44. Oblicz brakujące współczynniki w równaniu ogólnym prostej m, wiedząc, że: a) prosta chodzi przez punkt m / A * x – 2y + C = 0; P(7, 0) jest równoległa do prostej k: 5x + 14y – 1 = 0 jest równoległa do prostej k: – 3x + 4y – 5 = 0 i prze i prze b) prosta m m / x + By + C = 0 chodzi przez punkt P(1, – 3); 3x + By + C = 0 jest prostopadła do prostej k: – – 20x + 15y – 7 = 0 i przechodzi przez początek układu współrzędnych c) prosta m: d) prosta m / A * x + y + C = 0 jest prostopadła do prostej k: 2x + 4y – 13 = 0 chodzi przez punkt P(1/2, 7)

 6.43. Napisz równanie ogólne a)k:5x-y+3=0 Czy proste kim są prostopadłe? m : – 15x + 25y + 10 = 0; m / 3 * y – 2 = 0 m : 15x – 3y – 2 = 0 m : 1, 5x – 1 1/3 * y + 2 1/5 = 0 do prostej: prostej m prostopadłej i przechodzącej przez punkt P(- 1, 2) b) k / y + 4 = 0 i przechodzącej przez punkt P(- sqrt(7), sqrt(2))

6.42. Dane Odpowiedź uzasadnij. a) k / 5 * x + 3y – 2 = 0 b) k k / 5 * x + 7 = 0 c) k 6/4 * x – 20y + 30 = 0 d) k / (- 2/3) * x – 3/4 * y + 1 = 0

 6.41. Napisz równanie ogólne prostej m równoległej do prostej: a) k: 3x – 2y + sqrt(3) = 0 i przechodzącej przez punkt P(- 1, 1) b) k / 4 * x + 9y = 0 i przecinającej oś OY w punkcie P(0, 5) c) k / 2 * x – 11 = 0 i przecinającej oś OX w punkcie P(- 4, 0) . d) k: y – 5 = 0 i przechodzącej przez punkt P(7, sqrt(2)) są równania ogólne prostych k i m. 

6.40. Dane są równania ogólne prostych k i m. Czy proste kim są równoległe? Odpowiedź uzasadnij. a) k / 2 * x – 3y + 6 = 0 , b) k / 3 * x – 4 = 0 , ck m – x + 1 1/2 * y – 2 = 0; m / 2 * y + 5 = 0; m / x – 3y – 1 = 0; m / 3 * x – 5 = 0 , k / 7 * x + 21y – 3 = 0 d) k / 2 * x + 7 = 0 , 

6.39. Dane jest równanie ogolne prostej. Podaj miarę kąta, jaki tworzy ta prosta z osią OX. a) x + y – 7 = 0 d) sqrt(3) * x – 3y + 15 = 0 b) sqrt(3) * x – y + 90 = 0 c) e) x – sqrt(3) = 0; sqrt(3) * x + y + 1 = 0 f) 3y – sqrt(3) = 0 

6.38. Do prostej należą punkty P i Q. Korzystając z równania prostej przechodzą cej przez dwa dane punkty, wyznacz równanie ogólne tej prostej. a) P(0, – 4) , Q(3, 1) c) P(2, 2); Q(- 1, 0) b) P(sqrt(5), – 3); Q(sqrt(5), 8) d) P(3, 1); Q(- 1, – 7) 

6.37. Punkty A i B należą do prostej k. Wyznacz równanie ogólne prostej k. a) A(0, 8) , B(2, 4) c) A(- 3, 2) , B(4, 9) b) A(3, – 4); B(11, – 4) d) A(- 2, 6), B(sqrt(2), – 3sqrt(2)) 6

 6.36. Dane a) x/3 = (12 – x)/3 jest równanie prostej k. Przedstaw to równanie w postaci ogólnej. b) y = (- x + 5)/4 c) y + (x – 1)/2 = (x + 2)/3

6.35. Dane są punkty: A(- 4, 1), B(0, – 2), C(3, 2); D(- 1, 5) Korzystając z własności prostych, opisanych równaniami kierunkowymi wykaż, że czworokąt ABCD jest kwadratem. c) k: y = 3 + p – 4x; m / y = 1/8|p + 8| * x – p ^ 2 Równanie ogólne prostej 

6.34. Dane są punkty: A(- 1, – 3), B(5, 0), c(3, 4), D(- 3, 1) . Korzystając z własności prostych, opisanych równaniami kierunkowymi wykaż, że czworokąt ABCD jest prostokątem. D 

6.33. Dane są punkty: A(- 1, 2), B(- 6, – 1), c(5, 1), D(10, 4) . Korzystając z własno ści prostych, opisanych równoległobokiem. równaniami kierunkowym, wykaż, że czworokąt ABCD jest D 

6.31. Wykaż, że prosta k: y = – 3x + 5 jest symetralną odcinka o końcach A(- 1, – 2) * i * B * (5, 0)

6.30. Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A(- 4, – 1) , A(0, 3) , B(4, – 3); B(4, – 5) , a) b) A(- 4, – 3); A, B . B(2, 3) d) A(1, – 3); B(7, 1) D

6.29. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A(- 4, – 2), B(4, – 1), c(- 2, 2) a) Napisz równania kierunkowe prostych AB, BC, AC. b) Czy trójkąt ABC jest prostokątny? Odpowiedź uzasadnij. do prostej k i prze

 6.28. Napisz równanie kierunkowe prostej m, prostopadłej chodzącej przez punkt A. a) k / y = – 2/3 * x , b) k: y = -x +, y = – x + 8; A(2sqrt(3), – sqrt(3)); A(- 4, 1); A(2, 9) , A(6, – 4) c) k / y = 4x – 1 , d) k:y=0,75x+3. 

6.27. Dane jest m: y = ax – 8 m : y = 4x – 8; y = – 2/3 * x + 11 : : y = (2a – sqrt(5)) * x – 19a; v=2x- underline u m m równanie prostej m: a) Napisz równanie prostej k, która jest prostopadła do prostej m i przechodzi przez punkt ( 0,3) . b) Oblicz współrzędne punktu wspólnego tych prostych. w c) Naszkicuj proste k im punkt. układzie współrzędnych; następnie zaznacz ich wspólny

6.26. Wyznacz a wiedząc, że prosta k jest prostopadła do prostej m. a) k:y=3x+6, b) k / y = (- 0, 25a + 3) * x + 2 c) k: y = 5 + (4 – 2a) * x d) k: y = – x + 3a * sqrt(5) ,

6.25. Napisz równanie kierunkowe prostej m, równoległej do prostej k i przecho dzącej przez punkt A. a) k / y = 2 , A(3, – 5) c) k:y=-2x+5,; A(-0,5;4) b) k / y = 3/4 * x , A(- 8, 3) d) k:y=0,125x-; , A(16, 20) 

6.24. Dana jest prosta m: y = – 2x – 1 a) Napisz równanie prostej k, równoległej do prostej m i przechodzącej przez punkt (- 1, 5) ( b) Naszkicuj obydwie proste w układzie współrzędnych. c) Sprawdź algebraicznie, że proste k im nie mają punktów wspólnych.

 6.23. Wyznacz liczbę a wiedząc, że prosta m jest równoległa do prostej k. a) k: y = (2a – 3) * x + 4 , b) k: y = 3x + a , c) k: y = (1 – a) * x , d) k: y = 8 , m : y = – 4x + 7 m : y = 4 + (4 + a) * x m : y = (2a – 5) * x – 9 m: y = (a – 10) * x + 7 P i na

6.22. Dany jest b) P(0, 6); alpha = 30 degrees d) P(3, – 4); alpha = 45 degrees f) P(sqrt(6), sqrt(8)), alpha = 150 degrees trójkąt o wierzchołkach: A(- 4, 3), B(4, – 5) * i * c * (8, 1) . Wyznacz: a) równania kierunkowe prostych, zawierających środkowe AD, BE I CF, b) współrzędne punktu przecięcia tych prostych.

6.21. Wyznacz równanie kierunkowej prostej k, przechodzącej przez punkt chylonej do osi OX pod kątem a. a) P(0, 0); alpha = 135 degrees c) P(4, 0); alpha = 120 degrees e) P(- 2sqrt(3), 5), alpha = 60 degrees

6.20. Dane są punkty A i B. Podaj, z dokładnością do jednego stopnia, miarę kąta nachylenia prostej AB do osi OX. a) A(- 4, 2); B(1, 8) c) A(12, – 3), B(6, 15) b) A(5, 6); B(9, – 4) d) A(2, – 3) , B(- 1, – 19) 

6.19. Dane jest równanie prostej k. Podaj miarę kąta nachylenia tej prostej do osi OX. a) k: y = x – 1 d) k: y = – x + 2 b) k: y = sqrt(3) * x + sqrt(2) e) k: y = – (sqrt(3))/3 * x + 1/2 c) k: y = 1 – sqrt(3) * x f) k: y prime=- 3-2 sqrt 3 x 6 

6.18. Napisz równanie kierunkowe prostej, przechodzącej przez punkty A i B. a) A(- 10, 58), B(2, 22); B(5, – 3) c) A(-10,7), b) A(- 8, – 95), B(4, 25) d) A(- 6, – 2); B(24, 4)

6.17. Prosta k przechodzi przez punkt , a jej współczynnik kierunkowy jest równy a. Wyznacz równanie kierunkowe A(5, 6) a) sigma = – 3 ) a = 1/2 * A * (- 1, – 9) prostej k. b) a = 2; A(- 10, 12) d) a = – 3/4 * A * (24, – 36)

6.17. Prosta k przechodzi przez punkt , a jej współczynnik kierunkowy jest równy a. Wyznacz równanie kierunkowe A(5, 6) a) sigma = – 3 ) a = 1/2 * A * (- 1, – 9) prostej k. b) a = 2; A(- 10, 12) d) a = – 3/4 * A * (24, – 36)

6.16. Wyznacz współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez punkty A3 a) A(2, – 3), B(6, 7); A(- 3/4, – 1), B(- 1/4, 8) b) A(- 4, 1), B(2, 7); A(1/8, 1 1/2), B(1/4, – 1/2)

A 1 

6.15. Korzystając z własności wektorów wykaż, że jeśli A(- 3, 4), B(6, 1), c(6, 4); D(3, 5) , to czworokąt ABCD jest trapezem. Równanie kierunkowe prostej