Tag: Matematyka 2 poziom podstawowy Pazdro Oficyna Edukacyjna

7.38. Wyznacz wysokość trójkąta ne 3 sqrt 3 cm^ 2 równobocznego, którego pole jest rów 

7.37. Na rysunku obok dane są trzy figury: kwadrat, trójkąt równoboczny i koło, których pola są odpowiednio równe: s, t, w. Wyraź pola figur umiesz czonych poniżej za pomocą pól s, t, w. a A b)

7.36. a) Pole jednej kratki jest równe 1. Oblicz pola poniższych figur. b) + 0 D

7.35. W trójkącie ABC poprowadzono środkową CD. Wykaż, że jeśli | angle BDC|=60^ to |AC| ^ 2 – |BC| ^ 2 = |AB||CD| . Pole figury płaskiej 

7.34. Boki trójkąta mają długość a, b, c, a kąty są odpowiednio równe a, B, . Wykaż, że jeśli a / b / c = 4/5 / 6 , to cos beta = cos^2 alpha . D

7.33. Wykaż, że jeśli a, B są miarami mieniem alpha okręgu opisanego na tym trójkącie, to obwód trójkąta jest równy 2R * [sin alpha + sin beta + sin(alpha + beta)] dwóch kątów trójkąta, a R – prc D 

7.32. W trójkącie prostokątnym równo ramiennym ABC przyprostokątne mają długość: |AC| = |BC| = sqrt(2) Punkty D, E na leżą do przeciwprostokątnej AB oraz | langle ACD|=|<DCE|=|<(ECB| Oblicz długości od cinków AD, DE, EB . D 

7.31. Na rysunku obok punkty A, B, C, D należą do okręgu o środku O oraz |AD| = |DC| . Wiedząc, że [BC]=8,|AC]=[AB]+6 i|<ABC]=120^ czworokąta ABCD. , oblicz obwód 

7.30. Boki trójkąta mają długość a, b, c, kąty są odpowiednio równe a, b, y, a R na tym trójkącie. Rozwiąż ten trójkąt, jeśli: jest promieniem okręgu opisanego a) a = sqrt(6); b = 2 , , R R = c = 5; beta = 45 degrees; alpha = 60 degrees b) a=2,b= sqrt 2 . d) R = 3 , alpha = 45 degrees; a= sqrt 27, beta=45^ , c < b . | |AC| = 10 cm, |BC| = 6 cm

7.29. Wykaż, że nie istnieje trójkąt ABC, w którym |BC|=179,|AC|=89,| triangleleft B|=30^ 

7.28. Rozwiąż trójkąt ABC, w którym: a) |BC| = 178, |AC| = 89; | angle B|=30^ b) |BC|=160,|AC|=89,|<B|=30^ | D

7.27. Rozwiąż trójkąt ABC, w którym: a) |AC| = 72 , |BC|=73,| triangleleft A|=49^ b) |AC|=72,|BC|=70,|<A|=49^

 7.26. Rozwiąż trójkąt ABC, w którym |AC| = |BC|, |AB| = 10 a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 8, 5 . 

7.25. Dwa boki trójkąta ABC mają długość: ze |<ACB|=60^ , oblicz długość środkowej CD. Zastosowanie twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów do rozwiązywania zadań

7.24. Boki trójkąta ABC mają długość: |AB| = 18 cm, |BC| = 15 cm; |AC| = 12 cm . Oblicz: |BC|=2 sqrt 21 cm oraz . Wiedząc, |AC| = 8 cm a) długość środkowej CD, b) promień okręgu opisanego na trójkącie ADC.

7.23. W trójkącie ABC boki mają długość: |AB| = 10 cm , . Oblicz długości środkowych CD i BE. 

7.22. W trójkącie ABC bok AC jest o Wiedząc, że | angle ABC|=135^ , oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie ABC. BC|=5 sqrt 2 cm 6 cm dłuższy od boku AB oraz | 

7.21. W trójkącie ABC mamy dane: |AC|=4,[BC]=|AB|-2 oraz|<= ACB|=50^ Oblicz obwód trójkąta ABC.

7.20. W trójkącie ABC mamy dane: |AC| = 6 cm, |BC| = 4 cm * c Oblicz obwód trójkąta ABC. 1oraz sin| triangleleft ACB|= 2 sqrt 2 2 

 7.19. W trójkącie ABC dwa boki mają długość: |AB| = 2 cm * i|Ac| = 4 cm a sinus kąta BAC jest równy sqrt 15 4 . BAC jest ostry, to trójkąt ABC jest ró wnoramienny. b) Oblicz długość boku BC w przypadku, gdy | angle BAC| in(90^ ,180^ ) D a) Wykaż, że jeśli kąt

7.18. Dwa boki trójkąta ABC mają długość: |AB| = 7 cm, |BC| = 8 cm . Wiedząc, że |<C|=60^ , oblicz długość boku AC. 

7.17. Boki równoległoboku mają długość a i b, a kąt ostry jest równy y. Oblicz długość przekątnych tego równoległoboku, jeśli: a) a=4 cm,b=3 sqrt 2 cm , gamma = 45 degrees b) a = 3 cm, a = 3 cm; b = 5 cm, gamma = 30 degrees .

7.16. Boki trójkąta ABC mają długość: |BC| = 5, |AB| = 2sqrt(2) – 1 oraz |AC| = 2sqrt(2) + 1 Oblicz miarę kąta przy wierzchołku A. 

7.15. Długości boków trójkąta |BC|= sqrt 2 cm ABC są równe: |AB|= sqrt 14 cm,|AC|=3 sqrt 2 cm . Wyznacz miarę kąta przy wierzchołku C. oraz 

7.14. Dane są długości boków trójkąta. Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, pro największego kąta tego trójkąta. czy a) a = 10 cm stokątny rozwartokątny. Podaj miarę , b = 9 cm , c = 5 cm b) sigma=4 cm.; b = 10 cm , c = 12 cm c) a=2 sqrt 2 cm,b= sqrt 26 cm,c=3 sqrt 2 cm

7.13. Boki trójkąta ABC mają długość: [AB]=8 cm,|BC]=6 cm Oblicz cosinusy kątów tego trójkąta. Czy trójkąt rozwartokątny? |AC|=5 cm.; cx 1 jest ostrokątny, prostokątny, 

7.12. Dane długość a = 3 a) są długości boków a i b trzeciego boku, jeśli: , , b = 9; Y = 120 degrees oraz kąt miedzy tymi bokami równy y. Oblicz b = 6; a = 2sqrt(2) b) b gamma = 45 degrees , .

7.12. Dane długość a = 3 a) są długości boków a i b trzeciego boku, jeśli: , , b = 9; Y = 120 degrees oraz kąt miedzy tymi bokami równy y. Oblicz b = 6; a = 2sqrt(2) b) b gamma = 45 degrees , .

7.11. Wykaż, że jeśli dwa kąty trójkąta mają po 30°, to długość dwóch boków tego trójkąta jest równa promieniowi okręgu opisanego na tym trójkącie. Twierdzenie cosinusów 

7.10. W trójkącie rozwartokątnym ABC dane są długości boków: |AB| = 3sqrt(2) , |BC|=3- sqrt 3 ,|AC|=2 sqrt 3 . Wyznacz: a) miarę kąta ACB, b) promień okręgu opisanego na trójkącie ABC. D 

7.9. W trójkącie równoramiennym rozwartokątnym najdłuższy Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 2 sqrt 3 , oblicz: bok ma długość 6. a) miary kątów trójkąta b) obwód tego trójkąta.

7.8. W trójkącie ABC mamy dane: |AB| = 12, |BC| = 6sqrt(2) oraz |<A|=30^ ry pozostałych kątów trójkąta. . Oblicz mia

 7.7. W trójkącie ABC mamy dane: | |AC|=3 sqrt 3 ); |BC| = 3 oraz | |<= A|=30^ ry pozostałych kątów trójkąta. . Oblicz mia 

7.6. Boki trójkąta leżące naprzeciw kątów a, B. y mają odpowiednio długość a, b. c. Na trójkącie opisano okrąg o promieniu R. Oblicz: a) R, jeśli tgy = – 3/4, c = 6c; 6 cm, b) a, jeslitg * alpha = 8/15, cos gamma = (2sqrt(2))/3, c =; =17 cm, c) c, jeśli ctga alpha = 1, cos gamma = (sqrt(3))/2 d) b, jeśli tga b = 9, 66 cm, g*alpha = sqrt(3), cos beta = (sqrt(2))/2, c = 19, 32 cm . 

7.5. W trójkącie ABC bok AB ma długość c, zaś kąty trójkąta przylegające do ku AB są równe a i B. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie, je sin(alpha + beta) = 3/4; s(alpha + beta) = 8/17 a) c epsilon = 8 cm * i * sin(a + beta) = epsilon/2; =- 5 13 c) c=20 cmn cos( alpha+ beta)=- b) c=13,5 cm i sin d) c=15 cm i cos( alpha na trójkącie ABC, jeśli:

7.4. W trójkącie kąty są odpowiednio równe a, beta, gamma, a boki naprzeciw kątów mają odpowiednio długość a, b, c. Oblicz: a) b,jesli:sin alpha= 1 5 i cos beta= 3 5 oraz a=8 cm , b) c, jeśli: cos alpha = – 0, 174i * cos gamma = 0, 719oraza = 19, 7 cm . 

7.3. W trójkącie ABC kąty są odpowiednio równe a, B, y. Oblicz: a) długość boku AC, jeśli alpha = 48 degrees , gamma^ prime =70^ , b) długość boku AB, jeśli alpha = 17 degrees , gamma = 32 degrees; BC|=5 cm, , |AC| = 7, 55 cm . 

7.2. W trójkącie ABC kąty są odpowiednio równe a, b, y, a promień okręgu opi sanego na tym trójkącie jest równy R. Oblicz: a) długość boku AB, jeśli a alpha = 28 degrees b) długość boku AC, jeśli alpha = 65 degrees , beta = 32 degrees oraz R = 8 cm , oraz R = 10 cm , gamma = 83 degrees . 

7.1. Oblicz promień okręgu opisanego a) | |AC| = 3 oraz | CBA|=60^ b) |Bc| = 4 oraz |<BAC|=150^ c) | triangleleft A|=72^ ,|<B|=63^ ,|AB|= sqrt 8 d) |<B|+|<1C|=150^; |BC|=13.

6.74. Punkty A, B, C należą do paraboli p: y = 1/4 * (x – 4) ^ 2 i są wierzchołkami trójkąta |<ACB|=120 równoramiennego. Wiedząc, że punkt C jest wyznacz współrzędne punktów A, B, C. wierzchołkiem paraboli oraz Test sprawdzający do rozdziału 6. 

 6.73. Dany jest okrąg 0 / (x ^ 2) + y ^ 2 – 6y = 0 oraz punkt Da) Wykaż, że punkt A należy do okręgu o. A(0, 6) b) Wyznacz równanie prostej k, nachylonej do osi OX pod kątem 60° i przechodzącej c) Oblicz współrzędne punktu B, będącego drugim punktem przecięcia prostej k z danym okręgiem. d) Wyznacz na okręgu punkt C tak, aby trójkąt ABC był równoboczny. 

6.72. Dana jest parabola p / y = x ^ 2 – 3 a) Wyznacz współrzędne punktów A i B, x – y + 3 = 0 będących punktami przecięcia się paraboli b) Wyznacz współrzędne punktów C i D, będących punktami przecięcia się paraboli y + 2x = 0 Dc) Wykaż, że odcinki AB i CD przecinają się w . środku odcinka 

6.71. Dany jest okrąg Da) Wykaż, że prosta k: styczności. o / (x ^ 2) + y ^ 2 + 2x – 6y + 1 = 0 jest styczna do okręgu. Oblicz współrzędne punktu y – 6 = 0 b) Wyznacz na stycznej punkty, których odległość od środka okręgu jest równa 5. Oblicz odległość tych punktów od punktu styczności.

 6.70. Punkty A(- 4, 3), B(2, 0), c(2, 5) są wierzchołkami trójkąta. Wyznacz: a) równania prostych, zawierających wysokości poprowadzone z wierzchołków A i C, b) punkt przecięcia się wysokości trójkąta (ortocentrum).

6.69. Punkty A(- 4, 0), B(4, 4), c(- 5, 7) są wierzchołkami trójkąta. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta. Oblicz: a) współrzędne punktu D b) długość wysokości CD.

6.68. Prosta k / x – y + 1 = 0 przecina parabolę p / y = – 0, 5x ^ 2 + 5 w punktach A i B. Napisz równanie okręgu, którego średnicą jest odcinek AB.

6.67. Prosta k: y = – 3x + 8 przecina okrąg w punktach A i B. Oblicz: a) współrzędne punktów A i B . Oblicz współrzędne o środku w punkcie ( (1, 0) i promieniu 5 b) długość cięciwy AB. 

 6.66. Dane są punkty A(- 4, – 2) , B(3, – 1) , C(2, 4) , D(- 3, 3) punktu przecięcia się przekątnych tego czworokąta.

6.65. wyznacz Boki trójkąta zawierają się w prostych: k: x-3y+5=0,f;x+2y+5=0 m: 3x + y – 5 = 0 . Da) Wykaż, że trójkąt jest prostokątny. b) Wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta. 

 6.64. Dane są punkty: A(0, 2) , B(2, 4) a) równania symetralnych odcinków AB i BC, b) współrzędne punktu przecięcia się tych symetralnych, c) odległość punktu przecięcia się tych symetralnych od punktów A, B, C.