Tag: Matematyka 2 poziom podstawowy Pazdro Oficyna Edukacyjna

4.140. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość: 12 cm i 9 cm. W trójkąt wpisano okrąg. Oblicz długości odcinków: a) na jakie dwusieczna kąta prostego dzieli przeciwprostokątną, b) na jakie punkt styczności okręgu z przeciwprostokątną dzieli tę przeciwprostokątną. 

 4.139. W trójkącie równoramiennym boki mają długość 12 cm, 10 cm, 10 cm. trójkąt wpisano okrąg. Oblicz długości odcinków: a) na jakie punkt styczności okręgu z ramieniem dzieli to ramię, podstawie dzieli przeciwległe temu kątowi ramię. W b) na jakie dwusieczna kąta przy

4.138. W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AC| = |BC| , poprowadzo no dwusieczną kąta BAC, która przecięła bok BC w punkcie D oraz |CD| = 4 4/7 | |BD|=3 3 7 . a) Oblicz długość podstawy AB. b) Wiedząc dodatkowo, że odcinek DE jest wysokością trójkąta ABD, oblicz |AE|i| * B * E| .

4.137. W trójkącie równoramiennym poprowadzono dwusieczną kąta przy pod stawie, która podzieliła ramię na dwa odcinki mające długość: 4 cm i 6 cm. Oblicz długość podstawy tego trójkąta. Rozważ dwa przypadki. 

4.136. Różnica długości dwóch boków trójkąta jest równa 6 cm. Dwusieczna kąta leżącego między tymi bokami przecina trzeci bok trójkąta w stosunku długości tych dwóch boków. . 3/1 Oblicz 

4.135. Boki trójkąta mają długość 4 cm, 5 cm, 6 cm. Oblicz długości odcinków, na jakie dwusieczna największego kąta trójkąta dzieli bok, leżący naprzeciw tego kąta.

4.134. Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 12 cm. Promie okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy 3 cm. Oblicz długość ramienia teg trójkąta.

 4.133. W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AC| = |BC| , wysokość C jest równa 18 cm. Wiedząc, że promień okręgu wpisanego w ny 8 cm, oblicz długości boków tego trójkąta. ten trójkąt jest rów 

4.132. Dane są długości boków trójkąta równoramiennego. Wyznacz wysokość tego trójkąta poprowadzona na podstawę. Następnie oblicz promień okręgu wpi sanego w ten trójkąt, korzystając z podobieństwa odpowiednich trójkątów. a) 5 cm, 5 cm , 8 cm b) 25 cm, 25 cm, 14 cm 

4.131. Dane są długości boków trójkąta tego trójkąta poprowadzona na podstawę. Następnie w ten trójkąt, korzystając z twierdzenia o odcinkach stycznych i z twierdzenia nego Pitagorasa. a) 5 cm, 5 cm, 6 cm równoramiennego. Wyznacz wysokość oblicz promień okręgu wpisa b) 13 cm, 13 cm, 24 cm 

4.130. Obwód trójkąta prostokątnego jest równy 56 cm. Na trójkącie opisano okrąg i w trójkąt wpisano okrąg. Oblicz promienie tych okręgów wiedząc, że ich różnica wynosi 9,5 cm. 

4.129. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny wiedząc, że ob wód tego trójkąta wynosi 30 cm, a promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 6,5 cm.

4.128. Wykaż, że suma promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym i promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa średniej arytmetycznej długości przyprostokątnych tego trójkąta.

4.127. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równoramienny, jeśli: a) przeciwprostokątna tego trójkąta jest równa 4 cm, b) odległość środka okręgu od wierzchołka kąta od tego promienia. prostego jest o 1 cm dłuższa D 

4.126. Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, którego przypro stokątne mają długość: a) 6 cm i 8 cm 12 cm i 5 cm c) b) 8 cm i 15 cm d) 2 sqrt 5 cmi 4 cm . 

4.125. W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 3 cm i 4 cm wpisano okrąg. Oblicz trójkąta. długości odcinków, na jakie punkty styczności podzieliły boki tego

 4.124. Wyznacz promień r okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny równora mienny, jeśli: a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 3, b) różnica długości przyprostokątnej i r jest równa 1+ sqrt 2 . 

4.123. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym jest o 4 cm dłuższy od promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt. Oblicz obwód tego trójkąta. 

4.122. Wyznacz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny, jeśli: a) boki trójkąta mają długość 10 cm, b) wy sokości trójkąta przecinają się w punkcie, którego odległość od wierzchołków jest równa 5 cm. 

4.121. W trójkąt równoramienny ABC wpisano okrąg. Wiedząc, że |AC| = |BC| = 16 cm oraz |AB| = 12 cm , oblicz długości odcinków, na jakie punkt styczności podzielił bok AC. 

4.120. W trójkąt ABC wpisano okrąg. Punkty D, E, F są punktami styczności tego okręgu odpowiednio z bokami AB, BC i AC. Wiedząc, że |AD| = 5 cm, |DB| = 4 cm oraz | |Fc| = 3 cm , oblicz obwód trójkąta ABC. 

 4.119. Kąty trójkąta ABC są równe: 50 degrees , 60^ .70^ trójkącie ABC opisano okrąg. . Na Przez punkty A, B, C poprowadzono styczne do okręgu, które przecięły się kolejno w punktach K, L, M. Wyznacz kąty trójkąta KLM. 

4.118. Kąty trójkąta ABC są równe: , , 50 degrees; 60 degrees; 70 degrees . W trójkąt ABC wpisano okrąg. Punkty styczności wyznaczają wierzchołki trójkąta KLM. Wyznacz kąty trójkąta KLM. 

4.117. W trójkąt równoramienny ABC wpisano okrąg o środku O. Wiedząc, że |alpha*A * O * B| = 130 degrees oblicz miary kątów tego trójkąta. 

4.116. W trójkącie kąty są równe: , , 20 degrees; 60 degrees; 100 degrees . Poprowadzono dwusiecz ne kątów tego trójkąta. Oblicz miary kątów powstałych w ten sposób sześciu trójkątów. 

4.115. W trójkącie ABC odcinek AD dwusiecznej kąta BAC ma długość tak jak | angle BAC|=108^ , oblicz miary pozostałych kątów trójkąta ABC. bok AB. Wiedząc, że

4.114. W trójkącie równoramiennym ABC, |AC| = |BC| , dwusieczna kąta BAC tworzy z bokiem BC kąt 120°. Wyznacz kąty trójkąta ABC. Rozważ dwa przypadki.

4.113. Symetralne boków trójkąta równoramiennego przecinają się w odległo ści 12,5 cm od wierzchołka przy podstawie i w odległości 10 cm od ramion trójkąta. Oblicz długości boków tego trójkąta. Dwusieczne kątów trójkąta. Okrąg wpisany w trójkąt 

4.112. W t Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie jest równy 5, oblicz |AB| . 

4.111. Dane są długości boków trójkąta równoramiennego. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. a) 25 cm, 25 cm, 14 cm b) 61 cm, 61 cm, 120 cm rójkącie ostrokątnym ABC boki AC i BC są równe i mają długość 4 sqrt 5 .

4.109. W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 18 cm, a ra miona BC|AC-15 cm Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, czy rozwartokątny. Oblicz wysokość CD tego trójkąta. Następnie wyznacz promień okręgu opisanego na tym trójkącie na dwa sposoby: a) korzystając tylko z twierdzenia Pitagorasa, b) korzystając z podobieństwa odpowiednich trójkątów prostokątnych. miona BC i W trójkącie równoramiennym ABC podstawa AB ma długość 16 cm, a ra iAC – 10 cm . Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, czy rozwartokątny. Ob licz promień okręgu opisanego na tym trójkącie na dwa sposoby, jak w zadaniu 

4.108. Na trójkącie prostokątnym opisano okrąg o środku w punkcie c, c > 0 . Da) Wykaż, że odległość punktu O od punktu S, będącego środkiem trójkąta, jest równa c 6 . prostokątna tego trójkąta ma długość b) Wyznacz promień tego okręgu wiedząc, że odcinek OS jest o 10 od przeciwprostokątnej. O. Przeciw ciężkości tego cm krótszy

4.107. a) należy do boku AB b) należy do boku BC.

4.106. Na trójkącie prostokątnym opisano okrąg o promieniu 10 cm. Wiedząc, że wysokość tego trójkąta poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa 8 cm, oblicz długości boków tego trójkąta. W pewnym trójkącie kąt przy wierzchołku A jest dwa razy większy od kąta przy wierzchołku B. Wyznacz stosunek długości boków tego trójkąta, jeśli środek okręgu opisanego na trójkącie ABC:

4.105. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną jest równa 4 cm. Spodek tej wysokości leży w odległości c przeciw 1 1/6 m od środka prostokątnej. Oblicz: a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie, b) długości boków tego trójkąta. 

4.104. W trójkącie prostokątnym jedna z przyprostokątnych ma długość 65 cm, a wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego jest równa 60 cm. Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. 

4.103. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest równy 6 cm. Oblicz odległość środka ciężkości tego trójkąta od wierzchołka kąta prostego. 

4.101. Wysokość trójkąta równobocznego jest o 3 cm dłuższa od promienia okrę gu opisanego na tym trójkącie. Oblicz długość boku trójkąta. 

 4.100. Oblicz promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym, którego boki mają długość 6 cm. 

4.99. Dane są długości boków a, b, c trójkąta. Jak jest położony względem tego trójkąta środek okręgu opisanego na tym trójkącie, jeśli: a) a sigma = 13 , b = 12 , c = 5 , b = 6 , c = 8 c) a = 5 b) sigma = 6 , b = 24 , c = 25 , b = 6 , c = 7 ? d) a = 5 

4.98. Na |CP| = 4 cm trójkącie ostrokątnym ABC opisano okrąg o środku S. Wykaż, że: a) jeśli punkt S należy do jednej z wysokości trójkąta, to ten trójkąt jest równo ramienny, b) jeśli punkt S dzieli wysokość trójkąta w stosunku 2/1 trójkąta, to ten trójkąt jest równoboczny. licząc od wierzchołka

4.97. W trójkącie równoramiennym ABC kąt przy wierzchołku C jest równy 120°. Symetralne boków trójkąta przecinają się w punkcie P. Wiedząc, że oblicz długości boków trójkąta ABC. D 

4.96. W trójkącie prostokątnym ABC, w którym przecina ten bok w ICAB|=90^ symetralna boku AB punkcie D, zaś bok BC w punkcie E. Wiedząc, że |AB| = 42 cm oraz |DE| = 28 cm , oblicz obwód trójkąta ABC. 

4.95. W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość stosunek długości odcinkow, na jakie symetralna przyprostokątną

4.94. Symetralne boków trójkąta prostokątnego przecinają się w punkcie odle od wierzchołka kąta prostego o 5 cm. Wiedząc, że długości przyprostokątnych głym pozostają w stosunku 3: 4, oblicz obwód tego trójkąta. 2 cm i 6 cm. Oblicz przeciwprostokątnej dzieli dłuższą

4.93. W trójkącie ABC bok AB ma długość 16 cm. Punkt D jest spodkiem wy w punkcie P w taki sposób, że |CP| : |PB| = 1/2 zawarty w trójkącie ma długość 6 cm, oblicz: Wiedząc, że odcinek tej symetralnej . a) wysokość CD, b) obwód trójkąta ABC, c) odległość punktu D od wierzchołka B, d) odległość punktu D od boku AC. 

4.92. W trójkącie ABC, w którym |AC| > |BC| na odcinki AD i DB w taki sposób, że spodek wysokości dzieli bok AB przecina bok AB w punkcie E, a bok AC w punkcie F. Wiedząc, że CD. |AD| / |DB| = 3/1 . Symetralna boku AB |EF|=2,1 cm, 

4.91. Na rysunku obok boki AB i BC trójkąta ABC są stycz ne do okręgu o środku w punkcie O, odpowiednio w punk D i E. Odległość punktu C od punktu O jest równa 5. Okrąg przecina bok AC kolejno w punktach PiQ. Wiedząc, że |PQ| = |PC| = 2sqrt(2) , oblicz: tach a) promień okręgu, b) długości odcinków, na jakie punkt E dzieli bok BC. E i*alpha B В

4.90. Na rysunku obok punkty A, B, C nale żą do okręgu oraz |AB| = |AC| Średnica AD za wiera wysokość AE trójkąta ABC. Wiedząc, że |AE| = 12 cm oraz |ED| = 3 cm , oblicz długości boków tego trójkąta. 

4.89. Punkty A, B, C należą do okręgu. Styczna do okręgu w punkcie A przecina półprostą CB^ w punkcie P. Wykaż, że jeśli |PA| / |PC| = 3/5 to |PB| / |BC| = 9/16 .