Tag: Matematyka 2 poziom podstawowy Pazdro Oficyna Edukacyjna

4.88. Punkty A, B, C należą do okręgu. Styczna do okręgu w punkcie A przecina półprostą w punkcie P. Wykaż, że jeśli |PB| / |BC| = 1/3 , to |PA| / |PC| = 1/2 . CB^ D 

4.87. Z punktu P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie A i dwie sieczne: jedna zawiera średnicę okręgu i przecina okrąg kolejno w punktach B i C; druga przecina okrąg kolejno w punktach D i E. Wiedząc, że |AP| = 24, |PB| = 18or; |PD| / |DE| = 3/1 oraz , oblicz: a) promień okręgu, b) długość odcinka PE. D 

4.86. Punkt P przecięcia cięciw AB i CD okręgu dzieli cięciwę AB na odcinki długości 8 cm i 3 cm. Wiedząc, że |CP| / |PD| = 3/2 , oblicz długość cięciwy CD.

4.85. W okręgu poprowadzono cie P. Wiedząc, dwie cięciwy AB i CD, które przecięły się w punk że |AP| = 10 cm, |BP| = 4 cm oraz PD|=2,5 cm , oblicz |CP|. 

4.84. Przez punkt P leżący w odległości 11 cm od środka okręgu, poprowa dzono sieczną, która przecięła ten okrąg kolejno w punktach A i B. Wiedząc, że ie * [PA] = |AB| = 6 cm , oblicz promień tego okręgu. 

4.83. Przez punkt P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie A i ste na przecinającą ten okrąg kolejno w punktach B i C. Wiedząc, że |PB| = 4 cm , oblicz długość cięciwy BC. |PA| = 8

4.82. Z punktu P poprowadzono styczną do okręgu w p unkcie A oraz sieczną, przecinającą okrąg w punk tach B i C, jak na rysunku obok. Wiedząc, że |PB| = 1 cm oraz |BC| = 8 cm , oblicz PA. 

4.81. Na rysunku obok dany jest okrąg o środku w punk cie O oraz kąty środkowe: a i B. Wykaż, że jeśli a a = 80 degrees i beta = 50 degrees , to OC||AB . Twierdzenie o stycznej i siecznej 

4.80. Cięciwa CD okręgu jest równoległa do średnicy AB. Wykaż, że różnica miar kątów ACD i CDA jest równa 90 degrees . D 

4.79. Dwa okręgi przecinają się w punktach P i Q. Poprowadzono średnicę PA A, C , w pierwszym okręgu oraz średnicę PB w drugim okręgu. Wykaz, ze punkty B są współliniowe.

4.78. Wewnątrz równoległoboku narysowano dwa półokręgi: średnicą jedne go jest krótszy bok, a średnicą drugiego – dłuższy bok równoległoboku. Wykaż, że punkt przecięcia tych półokręgów różny od wierzchołka równoległoboku należy do jednej z przekątnych tego równoległoboku. D 

4.77. Cięciwy AB i CD są różnymi średnicami jednego okręgu. Wykaż, że czworo kąt ABCD jest prostokątem. D D 

4.76. Punkty A, B, C dzielą okrąg na trzy łuki, których stosunek długości wynosi 5:6:7. Oblicz miary kątów trójkąta ABC. 

4.75. Punkty A, B, C należą do okręgu. Wiedząc, że kąty trójkąta ABC są równe: , |<A|=30^; |<B|=45 , |<C|=105^ A, B, C podzieliły okrąg. oblicz stosunek długości luków, na jakie punkty 

4.74. W okręgu o promieniu r kreślimy średnicę AB oraz taką cięciwę AC, że |A mathbb C |=r Jaką częścią okręgu jest łuk CAB? c) r = 4 , alpha = 135 degrees; P 4; P 1; P 3; P 3

4.73. Punkty P 6 ,P 7; P 8 , P 9 należą do okręgu i dzielą okrąg w danej kolejności na dziewięć P 1; P 2; P 3; P 4 prime P 5 tuków równej długości. Oblicz: a) | triangleleft P 6 P 3 P 5 b) |<P 8 P 5 P 3 | d) | triangleleft P 2 P 3 P 4 | 

4.72. Dany jest okrąg o środku w punkcie O i promieniu r. Oblicz długość łuku, na którym jest oparty kąt środkowy a w tym okręgu, jeśli: , alpha = 72 degrees d) r = 28 , alpha = 30 degrees a) r = 15 b) r = 10 e) r = 13 , alpha = 216 degrees , alpha = 270 degrees 

4.71. Oblicz miarę kąta środkowego, opartego na tuku okręgu o promieniu r, jeśli długość tego łuku jest równa d. a) r = 2 , d = pi , d = 3pi d) r = 5 b) r r = 3 e) r = 6 , d = 2pi , d d = 6 c) r r = 4 , d = 5pi f) r = 8 , d = 40 

4.70. Dany jest okrąg o środku w punkcie O. Korzystając z danych na rysunku, oblicz alpha . a) b) c) 80 120 ^ 3; alpha; bullet C; 2x+140^ prime 100 

4.69. Dany jest okręg o środku w punkcie O. Korzystając z danych na rysunku, wyznacz miary kątów trójkąta ABC. a) b) 30 degrees 70 30 degrees D B B 

4.68. Dany jest okrąg o środku w punkcie O i prosta k styczna do tego okręgu. Korzystając z danych na rysunku, wyznacz miarę kąta d. a b) 45

4.67. Dany wyznacz miarę kąta a. a) 214 degrees; 33 degrees jest okrąg o środku w punkcie O. Korzystając z danych na rysunku, b) a

18 degrees; 95 degrees; 56 degrees 

4.66. Odległość między środkami dwóch okręgów jest równa 9, a promienie tych okręgów są równe: 5 – a oraz Wyznacz wszystkie wartości a, dla których oba najmniej jeden punkt wspólny. 2a. okręgi mają co Kota i kąty 

4.65. Dane są dwa okręgi o (A, 3) oraz o(B, m – 4) . Odległość między ich środkami jest równa 7. Wyznacz wszystkie wartości m, dla których te okręgi mają: a) jeden punkt wspólny b) dwa punkty wspólne. 

4.64. Dane są dwa okręgi o(A,r 1 ),o(B,r 2 ) takie, że: a) r 1 =2 , r 2 =3 , |AB| = k b) r 1 =k , r 2 =k-1,|AB|=5 c) r 1 =3 , r 2 =2k , |AB| = 4 d) r 1 =5-k , r 2 =k+1 , |AB| = 2 . Określ położenie okręgów w zależności od wartości parametru k. 

4.63. Dane do mniejszego okręgu, a jej długość jest równa 30 cm. są gów wiedząc, że różnią się o 9 cm. 

4.62. Dwa okręgi o(A,r 1 )io(B,r 2 ) są styczne zewnętrznie do siebie i oba są stycz ne wewnętrznie do okręgu o(C,r 3 ) Obwód trójkąta ABC wynosi 25 cm. Oblicz . r 3 dwa okręgi współśrodkowe. Cięciwa większego okręgu jest styczna Oblicz promienie tych okrę 

4.61. Trzy okręgi o promieniu r są styczne zewnętrznie, każdy do dwóch pozosta tych. Wyznacz długości boków i miary kątów trójkąta, utworzonego przez punkty styczności. 

4.60. Wyznacz promienie okręgów wiedząc że, gdyby te okręgi były styczne wnętrznie, to odległość między ich środkami byłaby były styczne wewnętrznie, to odległość między ich środkami byłaby równa 3 Wyznacz promienie tych okręgów. równa 15 cm; a gdyby te olveg ich środkami wyno że jeśli odległość ich środkami jest

4.59. Dwa okręgi są styczne wewnętrznie. Odległość między równa 3 cm. Wyznacz promienie tych okręgów, jeśli: a) jeden z nich jest dwa razy krótszy od drugiego, b) suma długości promieni jest równa 17 cm. 

4.58. Dwa okręgi są styczne zewnętrznie. Odległość między si 12 cm. Wyznacz promienie tych okręgów, wiedząc, że: a) jeden z nich jest o 2 cm dłuższy od drugiego, b) jeden z nich jest trzy razy krótszy od drugiego. 

4.57. Określ wzajemne położenie okręgów o (A,r 1 )io(B,r 2 ) , jeśli |AB| = 8 oraz: a) r 1 =1 , r 2 =9 c) r 1 = sqrt 5 ,r 2 =3 sqrt 5 e) r 1 = sqrt 8 . , r 2 =11 b) r 1 =3,; r 2 =5 d) r 1 =5; r 2 =13 f) r 1 =4- sqrt 5 , r 2 =4+ sqrt 2 

4.56. Dany jest okrąg o promieniu r i prosta, której odległość od środka okręgu jest równa d. Zbadaj położenie prostej k i okręgu o w zależności od a. a) r = 4 , d = a – 3 , d d = 6 + a c) r = – a b) r = o d) r , d = 8 – a , d = sigma + 1; r = a – 1 Wzajemne położenie dwóch okręgów 

4.55. Do danego okręgu poprowadzono styczną tak, że końce A, B średnicy tego okręgu są odległe od stycznej o 25 cm i o 15 cm. Oblicz promień tego okręgu. 

4.54. Z punktu A poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku O i promieniu r. Półprosta mathcal AO ^ -* przecina okrąg w dwóch punktach punktu Q od poprowadzonych stycznych jest dwa razy większa niż odległość punk r= 1 2 |AP|.; P|Q Wykaż, tu P od tych stycznych, to 

4.53. Z punktu A poprowadzono dwie styczne do okręgu o środku O i promieniu w punkcie P. Oblicz odległość 3 cm. Odcinek AO ma długość 9 cm i przecina okrąg punktu P od tych stycznych. b) r r = pi , d = 9 ^ 0.5 d) r = log2 8 , d = 3 prostej k. B D E A B

4.52. Miara kąta utworzonego przez dwa promienie okręgu jest równa a. Pod jakim kątem widać ten okrąg z punktu przecięcia stycznych do okręgu, poprowa dzonych z końców tych promieni, jeśli: a) alpha = 45 degrees b) alpha = 60 degrees c) alpha = 100 degrees d) alpha = 141 degrees ?

4.51. Okrąg na rysunku obok jest styczny do wszystkich boków trójkąta ABC, w którym |AC| = |BC| , odpowiednio w punk Wiedząc, że |AB| = 15cr oraz |BC|=19,5 cm, tach D, E, F. oblicz długość odcinka FC. 

4.50. Proste AE, AD i BC sa styczne do okręgu. Wiedząc, że AD|=17 cm oblicz obwód trój kąta ABC. 

4.49. Wskaż na rysunku obok trzy pary odcinków równej długości wiedząc, że proste AC, EC, BD są styczne do okrę gu odpowiednio w punktach A, E, F. 

4.48. Dany jest promień r okręgu o i odległość d środka okręgu o od Ustal położenie prostej k oraz okręgu o. a) r = 3 c) , r = 7 , d = 2sqrt(3); d = sqrt(4 ^ 2 + 3 ^ 2) 

4.47. Wyraź w procentach (z dokładnością do 1%), jaką część okręgu stanowi tuk okręgu o promieniu r, jeśli długość łuku jest równa d. a) r = 3 cm , d= pi cm c) f= pi cm.d= pi^ 2 cm e) r = sqrt(3) * d * m, d = sqrt(12pi) dm b) r r = 5 cm , d = 20 cm d) r r = 0, 25pi * d * m , d = 6 cm f) r = 0, 4m, d = sqrt(5) * pi dm |AD| = 1 oraz | |DB| = 4

4.46. Cięciwa CD okręgu jest prostopadła do średnicy AB i przecina ją w punk cie P w stosunku . Wiedząc, że odległość punktu P od środka okręgu jest równa 9/1 4 cm, oblicz: a) długość okręgu b) długość cięciwy CD. 

4.45. Cięciwa CD okręgu jest równoległa do średnicy AB, a odległość między nimi jest równa 5 cm. Wiedząc że różnica długości tych cięciw jest równa 2 cm, oblicz długość tego okręgu. 

4.43. O oblicz odległość tej cięciwy od środka okręgu. , Promień okręgu jest równy 17 cm. Oblicz długość cięciwy tego okręgu, która znajduje się w odległości 8 cm od środka okręgu. 

4.42. W kole poprowadzono średnicę AB i cięciwę AC. Wiedząc, że BC i|BC| = 7 cm , oblicz odległość cięciwy AC od środka koła: BC perp AC dcinek AB jest cięciwą okręgu o promieniu 25 cm. Wiedząc, że |AB| = 48 cm 

4.41. Naszkicuj okrąg i zaznacz na nim punkty A, a) lle cięciw i ile tuków wyznaczają te punkty? Wskaż te cięciwy i łuki. B i C. b) lle cięciw i ile tuków wyznaczają cztery punkty położone na okręgu? 

4.40. W trójkącie ABC, w którym ciężkości S i spodek D wysokości CD. |<\ ACB|=90^; |BD|=6,; sqrt 3 . Da) Wykaż, że jeśli |AD| = 3 oraz a jego długość jest równa oraz |AC| < |BC| zaznaczono środek to odcinek DS jest równoległy do boku AC, b) Czy odcinek DS byłby równoległy do boku AC, gdyby Odpowiedź uzasadnij. Okrąg. Położenie prostej i okręgu 

4.39. Wysokość trójkąta prostokątnego poprowadzona na przeciwprostokątną odcinki, których długości pozostają w stosunku 9/16 . Wiedząc, że ob dzieli ją na wód trójkąta jest równy 30 cm, oblicz długości przyprostokątnych.

4.38. Najkrótsza wysokość trójkąta prostokątnego jest równa 8 cm, a najdłuższa wynosi 13 1 3 cm Oblicz obwód tego trójkąta.