Tag: Matematyka 2 poziom podstawowy Pazdro Oficyna Edukacyjna

4.37. W trójkącie równoramiennym boki mają długość: 18 cm, 15 cm, 15 cm. a) Oblicz odległości środka wysokości poprowadzonej na podstawę od boków tego trójkąta. b) Jaka jest odległość spodka tej wysokości od ramion trójkąta?

 4.36. Podstawy trapezu mają długość 4 cm i 12 cm, a jego przekątne mają długość 10 cm oraz 8 cm. Oblicz długości odcinków, na jakie punkt przecięcia przekątnych dzieli te przekątne. 

4.35. Boki trapezu ABCD, AB||DC, mają długość: |AB|=21 cm,|BC|=8 cm,; |DC| = 14 cm, |AD| = 5 cm . Proste AD i BC przecinają się w punkcie P. Oblicz ob wód trójkąta ABP.

4.34. Boki trójkąta ABC mają długość: |BC|=a,|AC|=b,|AB|=c. Trójkąt A 4 1 B 1 C 1 jest podobny do trójkąta ABC, a jego boki mają odpowiednio długość: |B 1 C 1 |=a+4; |A 1 C 1 |=b+6,|A 1 B 1 |=c+8 . a) Wykaż, że a / b / c = 2/3 / 4 . b) Wiedząc dodatkowo, że obwód trójkąta ABC jest równy podobieństwa trójkąta A 1 B 1 C 1 do trójkąta ABC. 27 cm, oblicz skalę 

4.32. Boki trójkąta ABC mają długość: 8 cm, 10 cm, 12 cm. Trójkąt A 1 B 1 C 1 jest podobny do trójkąta ABC w skali 1/3 Oblicz obwód trójkąta A,B,C, A 1 B 1 C 1 4.33. Trójkąt A 1 B 1 C 1 jest podobny do trójkąta ABC obwód trójkąta ABC jest mniejszy od obwodu trójkąta A 1 B 3 C 3 ? w skali 1,25. O ile procent 

4.31. Trójkąt ABC jest równoboczny, a jego bok ma długość należy do boku AC oraz |AD| = 1 punkt P. Wykaż, że jeśli CP|=1 , to a, a > 1 . Punkt D . Na przedłużeniu boku BC poza punkt C leży trójkąt DBP jest równoramienny. 

4.30. W trójkącie ABC poprowadzono środkową AD. Wykaż, że jeśli suma miar kątów DAC i ACB jest równa mierze kąta ADC, to trójkąt DBP jest równoramienny Oblicz odległość środka

D 

4.29. W trójkącie ABC poprowadzono środkową AD. Punkt E jest środkiem od przecina bok AB w punkcie P. Wykaż, że CE^; |PB|=2|AP|. cinka AD. Półprosta D 

4.28. Oblicz długości środkowych trójkąta, którego boki mają długość: 16 cm, 17 cm, 17 cm. D 

4.27. Boki trójkąta mają długość: 9 cm, 12 cm, 15 cm. ciężkości tego trójkąta: a) od dwóch jego krótszych boków, b) od wierzchołków tego trójkąta. 

4.26. Oblicz długości odcinków, na jakie środek ciężkości tego trójkąta poprowadzoną na podstawę, jeśli: a) trójkąt jest równoboczny, a jego obwód jest równy 18, 3/4 trójkąta dzieli środkową b) trójkąt jest prostokątny równoramienny, a jego ramiona mają długość 3. 

4.25. W Oblicz: trójkącie ABC boki mają długość: a) wysokość CD tego trójkąta, b) długość środkowej AE, c) długość odcinka DE. |AB| = 18 cm, |BC| = |AC| = 15 cm . 

4.24. Boki trójkąta mają długość 21 cm, 17 cm, 10 cm. a) Sprawdź, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. b) Oblicz długości trzech wysokości tego trójkąta. 

4.23. Stosunek długości krótszych boków trójkąta prostokątnego jest równy Wiedząc, że obwód tego trójkąta wynosi 36 cm, oblicz: a) długości boków tego trójkąta, b) długość środkowej trójkąta, poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego. 

4.22. Boki trójkąta mają długość: 20 cm, 16 cm, 12 cm. Da) Wykaż, że trójkąt jest prostokątny. b) Oblicz sumę długości wszystkich wysokości tego trójkąta. 

4.21. Kąty a, B, y trójkąta różnią się kolejno o 30°. że trójkąt jest prostokątny. b) Oblicz obwód tego trójkąta wiedząc, że różnica długości najdłuższego i najkrót szego boku tego sca po przecinku. trójkąta jest równa 4 cm. Wynik zaokrąglij do pierwszego miej D a) Wykaż,

4.20. W trójkącie prostokątnym równoramiennym najkrótsza wysokość ma dłu gość 2 cm. a) Oblicz długości boków tego trójkąta. c) Punkt M należy do przeciwprostokątnej tego trójkąta i dzieli ją w stosunku 1/3 . Oblicz odległości punktu M od przyprostokątnych. 

4.19. Wysokość trójkąta równobocznego jest o 2 krótsza od boku. a) Oblicz długość boku tego trójkąta. Wynik przedstaw w postaci a + b * sqrt(c); b,c in N. . x + 7 68 B B , gdzie a, b) Jaki obwód ma trójkąt, którego wierzchołkami są środki boków danego trójkąta? 

 4.18. Punkt D leży na przedłużeniu bo ku AB trójkąta ABC poza punkt B. Z punk tu D poprowadzono prostą prostopad ta do boku AC, która przecięła bok BC w punkcie E. Wykaż, że jeśli |BD| = |BE| to trójkąt ABC jest równoramienny 

 4.17. W trójkącie równoramien nym ABC kąt ACB jest równy 68 degrees Na prostej AB zaznaczono punk ty Di Ew taki sposób, że |DA| = |AC| oraz |BC| = |BE| Ob licz kąty trójkąta CDE. D 

4.16. Punkty D, E, F dzielą bok AC trójkąta ABC na cztery odcinki równej długości. Przez punkty D, E, F poprowadzono odcinki równolegle do boku AB, których drugi koniec należy do boku BC. Wiedząc, że najkrótszy z tych odcinków jest krótszy od kolej nego odcinka o 7 cm, oblicz długość boku AB i dłu gości równoległych odcinków.

 4.15. Długości boków trójkąta ABC pozostają w stosunku 2/3 / 4 . Środki boków tego trójkąta wyznaczają trójkąt, którego obwód jest równy 13,5 cm. Oblicz długości boków trójkąta ABC. B

4.14. Na podstawie danych na rysunku poniżej, oblicz długość podstawy AB trój kąta ABC. a) b) 6 3 

4.13. Dwa boki trójkąta mają długość 4 i 9. Długość c trzeciego boku wyraża się liczbą pierwszą. a) Oblicz c. Podaj wszystkie możliwe rozwiązania. Db) Wyka dot z i że dla każdej liczby c, znalezionej w punkcie a) trójkąt jest rozwartokątny. 

4.12. Wyznacz wszystkie liczby mających długość: a) sigma, 4, 8 – a; a, a > 0 b) a, a +, a + a.a+3; a + 6 , dla których istnieje trójkąt o bokach c) 2a, 7, 11 – a 

4.11. Czy na rysunku poniżej proste a i b są równolegle? Odpowiedź uzasadnij. a) b) 7.5 2y 3x 22 

4.10. Proste A B i A 1 B 1 przecinają się w punkcie równoległymi AA 3 , BB 1 iCC 1 – jak na ry sunku obok. O. Proste te przecięto prostymi Oblicz: a) |CC 1 | , jeśli |C 1 O|=4 cm,|OA|=3 cm,; |AA 1 |=2 cm; C 1 b) |oc 1 | jeśli OA 1 |=1,8 dm; AC 1 |=11,2 dm,|oC|=5,4 dm c) OB, jeśli |CC 1 |=4 dm,|BB 1 |=56 cm,|C 1 B|=12 dm , jeśli |AA 1 |=2 cm,|BB 1 |=5 cm,|A 1 B 1 |=4,5 cm,|CC 1 |=4 cm . d) CA 1 |

4.9. Na rysunkach poniżej proste a i b są równoległe. Oblicz x. a) b 6 c) d) b 12 6 6 10 10 e) 8 f) 7,5 12 15 20 

4.8. Korzystając z danych na rysunku poniżej wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem. a) D 64 b) D 65″ 128 degrees A 76 63 degrees; 102^ prime B

4.7. Wykaż, że w dowolnym trapezie dwusieczne kątów przy tym samym ramieniu są do siebie prostopadłe. D

4.6. Dany jest kąt ostry BAC, | angle BAC|=39^ , oraz punkt P, leżący na zewnątrz te kąta. Z punktu P poprowadzono dwie proste: jedną równoległą do ramienia a drugą prostopadłą do ramienia AC. Oblicz miarę kąta ostrego przecięcia się ty prostych. 75 137 degrees t rójką

 4.5. Dany jest trójkąt ABC oraz prosta k, równoległa do podstawy AB i przecho dząca przez wierzchołek C. Na podstawie danych na rysunku poniżej, wyznacz kąty trójkąta ABC. a) b) 35 670 B B 1289

4.4. Na rysunku obok zaznaczone są kąty zewnętrzne trójkąta a, beta, y. Wiedząc że alpha + gamma = 217 degrees oblicz B.

4.3. W trójkącie ABC poprowadzono dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i B. Kąt rozwarty prze cięcia się tych dwusiecznych jest równy 137 ^ c . Ob licz miarę kąta ACB. 

4.2. Punkt O jest punktem przecięcia dwusiecznych kątów CAB i ABC w cie ABC. Wyznacz miarę kąta wklęsłego AOB, jeśli: a) |<BAC|+|<ABC|=130^ b) |<ACB|=100^ 

4.1. Wyznacz miary dwóch kątów przyległych, jeśli jeden z nich jest cztery razy większy od drugiego.

30. Wykaż, że nierówność 2x ^ 2 + (k + 3) * x + 8 > 0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x tylko wtedy, gdy k in(-11,5)

29. Wykaż, że równanie 2x ^ 2 – (k + 1) * x + 2 = 0 ma rozwiązanie tylko wtedy, gdy k epsilon(- infty,-5) cup langle3,+ infty) D 

28. Wykaż, że jeśli a a – 2b = 3 , to o a^ 2 +b^ 2 >= 9 5 . D 

27. Wykaż, że jeśli zbiór wartości funkcji kwadratowej y = – x ^ 2 + 2kx – 3 jest prze działem (- infty,1 rangle , to lub k = 2; k = – 2 D 

26. Wykaż, że jeśli wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji y = – 1/2 * x ^ 2 + 2bx – 8 znajduje się w układzie współrzędnych pod osią OX, to b in(-2,2) D 

25. Drut długości 2 m t rzeba ka kwadratowa, a z w stosunku 2/3 . Jaką długość powinien mieć każdy z tych kawałków drutu, aby suma pól kwadratu podzielić na dwa kawałki: z jednego powstanie ram drugiego ramka prostokątna, której długości boków pozostają i prostokąta była najmniejsza? D 

24. W m ałym zakładzie krawieckim są szyte koszulki, które sprzedaje się do hur towni po 86 zł za sztukę. Związek między kosztem produkcji K(x), a liczbą x uszytych koszulek w ciągu dnia wyraża wzór k(x) = 4x ^ 2 – 2x + 84 maksymalnie 18 koszulek. . Zakład może uszyć dziennie a) Oblicz, ile co najmniej koszulek dziennie powinien szyć ten zakład, aby osiągnął zysk z ich sprzedaży. b) Oblicz, ile koszulek dziennie powinien szyć ten zakład, aby jego dzienny zysk był największy. Jaka jest wartość największego dziennego zysku? 

 23. Długości przekątnych rombu wyrażają się liczbami pierwszymi, różniącymi się o 2. Wiedząc, że pole tego rombu jest mniejsze od 17 1/2 oblicz jego obwód. 

 22. Na spotkaniu towarzyskim każdy uczestnik spotkania przywitał się z każdym z pozostałych uczestników uściskiem dłoni. Ile co najmniej osób brało udział w tym spotkaniu, jeżeli wymieniono więcej niż 45 uścisków dłoni?

21. Suma cyfr liczby trzycyfrowej wynosi 8, zaś suma kwadratów jej cyfr jest równa 30. Jeśli w liczbie zamienimy cyfry skrajne, to otrzymana liczba będzie o 396 większa od początkowej. Wyznacz tę liczbę trzycyfrową. 

20. Ojciec i córka mają razem 100 równy 1029. Ile lat ma obecnie ojciec, a ile córka? lat. 15 lat temu a, b, c iloczyn liczby lat córki i ojc a ne0; y = 2x ^ 2 – 4x + 5

19. Funkcja kwadratowa f(x) = a * x ^ 2 + bx + c ujemne wtedy i tylko funkcji f jest równa 1. a) Podaj równanie osi symetrii wykresu funkcji f. . c) Napisz w postaci ogólnej wzór funkcji g, której wykres otrzymamy, przesuwając równolegle wykres funkcji f o 3 jednostki w lewo i 4 jednostki do góry. b) Oblicz 

18. Funkcja kwadratowa f ma dwa miejsca cina oś OY w punkcie o rzędnej – 1 1/2 funkcja f przyjmuje wartości zerowe: -3 1.^ prime Wykres funkcji f prze a) Wyznacz wzór funkcji f w postaci iloczynowej. b) Podaj maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f. c) Jakie miejsca zerowe ma funkcja y=f(-x)+1 1 2 ? , gdzie , przyjmuje wartości wtedy, gd Y x in(- infty,-6) cup(-2,+ infty) Największa wartość 

17. Wykresem funkcji chołek ma współrzędne ( (- 1, 0) . kwadratowej f(x) = a * x ^ 2 – 6x + c a) Oblicz a i c. jest parabola, której wierz b) Podaj zbiór wartości funkcji, opisanej wzorem y = 8 – f(x) . c) Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których większe, niż funkcja g(x) = – 2x – 2 .