Kategoria: Matematyka 2 poziom podstawowy Pazdro Oficyna Edukacyjna

8.168. lloczyn trzech kolejnych liczb nieparzystych jest o 65 większy od ro kwadratów największej i najmniejszej z nich. Znajdź te liczby.

8.167. lloczyn trzech kolejnych liczb parzystych jest równy 192. Jakie to lice?

8.166. Akwarium ma kształt prostopadłościanu. m. Krawędzie pojemność jest

 8.165. Z prostokątnego kawałka blachy o wymiarach 0, 5m * 0, 4 m ciąć we wszystkich rogach jednakowe kwadraty tak, żeby po zgięciu odpowiednich krawędzi otrzymać otwarty, prostopadłościenny pojemnik. Jakiej wymiary powinny mieć wycięte kwadraty, aby objętość pojemnika była równa 6 litrów? należy wy Krawędzie jednego akwarium wierzchołka przy podstawie mają długość 3 m, 5 m, 2 wychodzące z drugiego akwarium są odpowiednio dłuższe o stały odcinek od krawędzi pierwszego akwarium. Wyznacz wymiary większego akwarium wiedząc, że jego o 110m ^ 3 większa od pojemności pierwszego akwarium.

8.164. Śmietana pakowana jest w prostopadłościenne pudełka o pojemności 0,4 1. Podstawa pudełka jest kwadratem. Wysokość pudełka jest o 6 cm krótsza wędzi podstawy. Wyznacz wymiary pudełka. od kra

8.163. Suma objętości trzech sześcianów jest równa 73 cm ^ 3 sześcianu jest o 2 cm dłuższa od krawędzi pierwszego sześcianu, a krawędź trzecie go sześcianu jest o 1 cm krótsza od krawędzi pierwszego sześcianu. Oblicz długości krawędzi tych sześcianów. . Krawędź drugiego

 8.162. Cyfra dziesiątek pewnej naturalnej liczby trzycyfrowej jest dwa razy więk sza od cyfry setek, a cyfra jedności tej liczby jest o 1 mniejsza od cyfry setek. Wyznacz tę liczbę trzycyfrową wiedząc, że różnica sześcianu cyfry setek i iloczynu pozostałych cyfr jest równa 4. 

8.161. Uczniowie pewnej klasy podzielili się na trzy wieloosobowe dru o 10 osób o 76 więk grupy. giej grupie jest o 6 osób więcej niż w pierwszej, a w trzeciej grupie jest więcej niż w pierwszej. lloczyn liczby uczniów grupy drugiej i trzeciej jest szy od sześcianu liczby uczniów pierwszej grupy. Ilu uczniów liczy ta klasa? W

8.160. Iloczyn trzech liczb szej, a trzecia o 1 mniejsza od drugiej, jest równy -30. Wyznacz te liczby.

8.159. lloczyn kwadratu pewnej liczby i kwadratu liczby o 3 od niej większej jest równy 324. Wyznacz te liczby. całkowitych, z których druga jest o 3 większa od pierw

8.158. Wykaż, że istnieją trzy wartości parametru a, dla których reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x ^ 3 + x ^ 2 + (a ^ 3 – a ^ 2) * x + 6a przez dwumian (x + 3) jest równa -12. 

8.158. Wykaż, że istnieją trzy wartości parametru a, dla których reszta z dzielenia wielomianu W(x) = x ^ 3 + x ^ 2 + (a ^ 3 – a ^ 2) * x + 6a przez dwumian (x + 3) jest równa -12. 

8.157. Wielomian W(x) = x ^ 3 + 4a ^ 2 * (a – 1) * x + 3ax – 4 jest podzielny przez dwu mian (x – 1) . a) Oblicz a. b) Wyznacz iloraz z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x – 1) . 0

8.156. Wykaż, że jeśli suma współczynników wielomianu W w(x) = x ^ 3 + (2a ^ 3 – 6a ^ 2) * x ^ 2 + 9a – 28 jest równa wartość O tylko wtedy, gdy x = 1 0, to wielomian w(x) przyjmuje 

8.156. Wykaż, że jeśli suma współczynników wielomianu W w(x) = x ^ 3 + (2a ^ 3 – 6a ^ 2) * x ^ 2 + 9a – 28 jest równa wartość O tylko wtedy, gdy x = 1 0, to wielomian w(x) przyjmuje 

8.155. Liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu W y(x) = x ^ 4 + 8x ^ 3 + (4a ^ 2 + 8) * x ^ 2 + a ^ 4 – a ^ 2 Oblicz a. b) Wyznacz pozostałe pierwiastki wielomianu w(x) i podaj krotność wszystkich pierwiastków. 7

 8.154. Liczba 1 jest pierwiastkiem wielomianu w(x) = x ^ 3 + (a ^ 3 – 1) * x ^ 2 + (2a ^ 2 + 4a + 23) * x – 15 a) Oblicz a. b) Rozłóż wielomian W(x) na czynniki możliwie najniższego stopnia. 

8.153. Rozwiąż równanie: 3x * (x + 3) = 2(x ^ 3 + 5); 2x ^ 2 * (x ^ 2 – x – 20) * (x ^ 3 – 125) = 0; (5x – 7) * x ^ 2 + 4(5x – 7) = 20x ^ 2 – 28x ( b) 6x ^ 3 – 13x ^ 2 = 2 – 9x d) 4x ^ 3 – 13x ^ 2 – 13x + 4 = 0; 4 = 0 5 = 0; 6x ^ 3 – 11x ^ 2 – 12x + 5 = 0 f) Zadania prowadzące do równań wielomianowych 

8.145. Rozwiąż równanie: x³ 3 3x ^ 3 – 7x ^ 2 – 7x + 3 = 0; x ^ 4 – 3x ^ 3 + 4x ^ 2 = 12x e) x ^ 3 – 8 = (x – 2)(x + 6) 169 x ^ 5 + 1 = 0 f) x x ^ 8 + 2x ^ 4 + 1 = 0 b) (x ^ 2 – 4x + 1)(x ^ 2 + 5) * (8 – x ^ 3) = 0 d) (9x ^ 2 – 25)(125x ^ 3 + 216) = 0 f) ( (x ^ 4 – 256)(3x ^ 2 – 6) * (x ^ 3 + 27) = 0 b) – 5(x ^ 2 – 3x) = x ^ 2 * (3x – x ^ 2) d) 4x ^ 2 * (3 – 2x) + 4x ^ 2 = 6x f) 9x ^ 2 * (x + 2) + 6x * (x + 2) = – x – 2 b) 8x ^ 5 – 32x ^ 3 – x ^ 2 + 4 = 0 d) x ^ 5 – x ^ 3 – 125x ^ 2 + 125 = 0 f) – 27x ^ 5 + 54x ^ 3 – x ^ 2 + 2 = 0 b) 3x ^ 5 – 2x ^ 4 + 2 – 3x = 0 d) x ^ 4 + 4x ^ 3 = 5x ^ 2 + 20x f) x ^ 5 – 2x ^ 3 = (2 – x ^ 2) * x ^ 2

8.144. Rozwiąż równanie: ax x ^ 5 – x ^ 3 – x ^ 2 + 1 = 0 2 2x ^ 5 + 3x ^ 3 – 16x ^ 2 – 24 = 0 x e) 8x ^ 5 – 128x ^ 3 + x ^ 2 – 16 = 0

8.143. Rozwiąż równanie: a) x ^ 2 * (x ^ 2 – 4) = 3(x ^ 2 – 4) c) x ^ 2 * (4 – x) + 9x – 36 = 0 e) (x – 1) ^ 2 – 2x * (x – 1) = 1 – x 

 8.142. Rozwiąż równanie: b) x ^ 3 + 64 = 0 e) x ^ 6 – 64 = 0 a) (4 – x)(x + 5) * (2x – 3) = 0 c) (x ^ 2 + 6x + 2)(8x ^ 2 – 4x) = 0 e) (2x ^ 2 + x + 1)(3x ^ 2 + 12) = 0

8.141. Rozwiąż równanie: x ^ 1 – 8 = 0 d) 81x ^ 4 – 1 8.

8.140. Rozłóż dane wielomiany na czynniki. a) 2x ^ 4 – x ^ 2 – 1 x x ^ 8 – 7x ^ 3 – 8 9 9x ^ 2 – (x ^ 2 + 2) ^ 2 b) – x ^ 4 + 10x ^ 2 – 9 d) (x ^ 2 – 3x) ^ 2 – 9x ^ 2 f) (x + 1) ^ 4 – 5 * (x + 1) ^ 2 + 4 Równania wielomianowe

8.139. Rozłóż dane wielomiany na czynniki. (x + 3) ^ 3 + 4 * (x + 3) ^ 2 + 4(x + 3); (4x – 5) ^ 3 – 9(4x – 5) ) (4x – 1) ^ 3 – (3x + 2) ^ 3 b) (2x – 3) ^ 3 – 2 * (2x – 3) ^ 2 + (2x – 3) d) 3 * (x – 2) ^ 3 – (x ^ 2 – 4)(x – 2) f) (2x + 3) ^ 3 – 8x – 12

8.138. Rozłóż dane wielomiany na czynniki. a) x ^ 3 + 4x ^ 2 + x – 6 c) 27 – (4x + 1) ^ 3 e) 5x ^ 4 + 8x ^ 3 + x ^ 2 – 2x b) 2x ^ 7 – 4x ^ 5 + 2x ^ 3 d) x ^ 3 + 4x ^ 2 – 3x – 18 f) 3sqrt(2) * x ^ 3 – x ^ 2 – 27sqrt(2) * x + 9

8.137. Rozłóż dany wielomian na czynniki wiedząc, że ma on całkowity pierwiastk. a) 2x ^ 3 + x ^ 2 – 5x + 2 c) 3x ^ 3 + 8x ^ 2 + 3x – 2 e) 2x ^ 3 – x ^ 2 – 7x + 6 b) x ^ 3 + 3x – 4 d) x ^ 3 – 7x ^ 2 + 11x – 5 f) 3x ^ 3 + 11x ^ 2 + 5x – 3

8.136. Rozłóż dane wielomiany na czynniki. a) x ^ 2 – 1 + (x ^ 2 – 1)(x ^ 2 + 1) c) (x ^ 2 + 8x + 16) * x ^ 2 – (x + 4) ^ 2 e) x ^ 3 – 8 + (x – 2)(x ^ 2 – 3x + 1) b) 3 * (x + 5) ^ 3 – (x ^ 2 + 10x + 25) d) 4 – x ^ 2 – (x – 2)(x + 2) * (x – 3) f) (3x + 1)(2x ^ 2 + 5) + 27x ^ 3 + 1 8

8.135. Rozłóż dane wielomiany na czynniki. a) ( (x + 2)(x + 2) – 4x – 8 c) 2x – 14 + 5(x – 7) * x ^ 2 e) 2x + 3 – (4x + 6)(2x – 3) b) (x – 3)(x + 3) – 4x + 12 d) 3x ^ 3 – 4x ^ 2 – (3x – 4) ^ 2 f) 2 + x + (4 + 2x) ^ 2 

8.134. Rozłóż dane wielomiany na czynniki. a) x ^ 4 + 2x ^ 3 – x – 2 c) x ^ 4 – x ^ 3 – 27x + 27 e) 8x ^ 4 + 8x ^ 3 – x – 1 b) 8x ^ 4 + 24x ^ 3 + x + 3 d) 125x ^ 4 – 125x ^ 3 – 8x + 8 f) 3x ^ 4 + 2x ^ 3 – 24x – 16 

 8.133. Rozłóż dane wielomiany na czynniki, stosując grupowanie wyrazów. a) – 3x ^ 3 – 4x ^ 2 + 12x + 16 c) – 4x ^ 3 + 2x ^ 2 – 6x + 3 e) 2x ^ 4 + 3x ^ 3 – 2x ^ 2 – 3x b) 20x ^ 3 + 12x ^ 2 – 45x – 27 d) – 6x ^ 3 – 16x ^ 2 + 3x + 8 f) 3x ^ 4 – x ^ 3 – 15x ^ 2 + 5x 

8.132. Rozłóż dane wielomiany na czynniki, stosując grupowanie wyrazów. a) 9x ^ 3 – 4x ^ 2 – 27x + 12 c) 16x ^ 3 + 16x ^ 2 – 4x – 4 e) 3x ^ 3 – 7x ^ 2 – 27x + 63 b) 5x ^ 3 – 4x ^ 2 – 5x + 4 d) 18x ^ 3 + 9x ^ 2 – 18x – 9 f) 10x ^ 3 + 15x ^ 2 + 8x + 12 

8.131. Rozłóż dane wielomiany na czynniki, stosując grupowanie wyrazów. a) x ^ 3 + 3x ^ 2 – 4x – 12 c) 3x ^ 3 – 6x ^ 2 + 4x – 8 e) 4x ^ 3 + 4x ^ 2 – x – 1 b) 7x ^ 3 + 2x ^ 2 – 21x – 6 d) x ^ 3 – x ^ 2 + x – 1 f) – 9x ^ 3 – 18x ^ 2 + x + 2

 8.130. Zamień sumę algebraiczną na iloczyn, stosując metodę grupowania wyrazów. a) a(x + y) + bx + by; cx – cy – ay + ax e) y ^ 2 + 2xy – 2x – y b) ax + bx – ay – by d) x ^ 2 – xy + ax – ay; 3ac – bc – b + 3c 

 8.129 Rozłóż dane wielomiany na czynniki, wyłączając wspólny czynnik poza nawias. a) 5x ^ 2 * (x – 1) + 7x * (1 – x) + 2(x – 1) c) (4x – 1) ^ 2 * x + (1 – 4x) * x ^ 2 – (4x – 1) e) (- 1 – x)(x ^ 2 – 1) – (x + 1) ^ 2 b) – 2x ^ 2 * (2 – x) + 3x * (x – 2) + 2(2 – x) d) x(x + 5) – x ^ 2 * (x + 5) – 2(- x – 5) f) (x ^ 2 – 9) * x – (x – 3) ^ 2

8.128. Rozłóż dane wielomiany na czynniki, wyłączając wspólny czynnik poza nawias. a) 4x ^ 4 – 4x ^ 3 + x ^ 2 c) x(3x ^ 2 + 1) – 4(3x ^ 2 + 1) e) (2x – 5) * x ^ 2 – 3x * (2x – 5) b) (x ^ 2 + 2)(2x – 3) + 5x * (x ^ 2 + 2) d) ( (5x – 1)(x ^ 2 + 1) + (5x – 1)(6 – 2x ^ 2) f) 9(x – 4) + (x – 4) * x ^ 2 + 6x * (x – 4) 

8.127. Rozłóż wielomiany na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia. a) – x ^ 3 + 3x ^ 2 – 3x + 1 e) 1 + 8x ^ 3; (x – 5) ^ 3 – 8x ^ 3 b) 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 d) 216x ^ 3 – 125 f) 27x ^ 3 – (2x + 1) ^ 3

8.126. Rozłóż wielomiany na czynniki, stosując wzory skróconego mnożenia. 625x ^ 4 – 1 c) – 4 – 20x ^ 2 – 25x ^ 4 e) (x – 4) ^ 2 – (2x + 1) ^ 2 b) x ^ 4 – 2x ^ 2 + 1 d) 81x ^ 4 – 16; 9x ^ 2 – 6x + 1 – (2x + 5) ^ 2 

8.125. Wielomian 

8.124. Współczynniki a i b wielomianu W(x) = x ^ 4 + a * x ^ 3 + b * x ^ 2 – 5x + 6sa całkowitymi, a dwa pierwiastki wielomianu W W(x) są liczbami pierwszymi. a) Oblicz a i b. b) Wykaż, że wielomian W(x) ma tylko dwa pierwiastki. licz

ma trzy całkowite pierwiastki. Wiedząc, w(x) . w(x) = x ^ 3 – a * x ^ 2 – x + 5 ze o jest liczbą pierwszą, wyznacz pierwiastki wielomianu W Rozkładanie wielomianów na czynniki 

8.123. Wykaż, że jeśli oraz wielomian W(x) = x ^ 3 + a * x ^ 2 + x – 12ma pier stek, który jest nieparzystą liczbą pierwszą, to reszta z dzielenia wielomianu a in Z przez x – 1 jest równa -12. D 

8.122. Wykaż, że jeśli ma pierwiastek, będący liczbą pierwszą, to wielomian całkowite. a in Z oraz wielomian w(x)=x^ 4 +2x^ 3 -4x^ 2 +ax**2; W(x) ma dwa pierwiastki D 

8.121. Wyznacz wszystkie pierwiastki wielomianu w(x) ma pierwiastek całkowity. a) W(x) = x ^ 3 + 2x ^ 2 – 3x – 10 c) W(x) = x ^ 3 + 2x ^ 2 – 15x – 36 e) W(x) = 2x ^ 3 + 4x – 24 wiedząc, że ten wielomian b) w(x) = 3x ^ 3 + 8x ^ 2 + 3x – 2 d) W(x) = – 2x ^ 3 + 28x – 16 f) w(x) = x ^ 5 – x ^ 4 + 2x ^ 3 – 2x ^ 2 + x – 1 g) w(x) = 4x ^ 5 – 8x ^ 4 – 4x ^ 3 + 8x ^ 2 + x – 2 h) W(x) = x ^ 5 – x ^ 4 – x ^ 3 + x ^ 2 – 6x + 6 D 

8.120. Wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu w(x) . a) W(x) = 1/4 * x ^ 3 – 1/2 * x ^ 2 – x + 2 c) W(x) = 1/2 * x ^ 3 + 5/2 * x ^ 2 + 5x + 12 b) w(x) = 1/3 * x ^ 3 – 7/3 * x + 2 d) w(x) = 1/2 * x ^ 4 + x ^ 3 – 13/2 * x ^ 2 – 7x + 12 

8.119. Wykaż, że wielomian W(x) = x ^ 3 + 6x ^ 2 + 3x – 10r ma tylko całkowite pierwiastki.

8.118. Wykaż, że wielomian W(x) = 4x ^ 4 + 4x ^ 3 + 11x ^ 2 – x – 3 nie ma pierwiastków całkowitych. D

8.117. Wyznacz całkowite pierwiastki wielomianu w(x) , jeśli: a) W(x) = x ^ 3 + 4x ^ 2 + x – 6 c) W(x) = 2x ^ 3 – 5x ^ 2 – 2x + 5 e) W(x) = x ^ 4 + x ^ 3 – 11x ^ 2 – 9x + 18 b) w(x) = 2x ^ 3 – 2x ^ 2 – 2x – 4 d) W(x) = 3x ^ 3 + 7x ^ 2 – 4 f) w(x) = 5x ^ 4 + 15x ^ 3 – 19x ^ 2 + 3x – 4 . D

8.116. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n wielomian W(x) = x ^ (2n – 1) + (n – 1) * x ^ 2 + nx + 2; x + 1 wielomianu. W(x) Następnie wyznacz W(x)

8.115. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n wielomian W(x) = n * x ^ (n + 1) – (n – 1) * x ^ n – 1jes podzielny przez dwumian x – . x – 1 0

8.114. Oblicz wartości współczynników a i b wielomianu W W(x) wiedząc, że wie lomian ten jest podzielny przez podany obok trójmian kwadratowy P(x) . Podaj wszystkie pierwiastki wielomianu W(x) . a) W(x) = x ^ 3 + a * x ^ 2 – bx + 6 b) W(x) = 3x ^ 3 + a * x ^ 2 – 15x + b; P(x) = (x – 1)(x – 2); P(x) = 3x ^ 2 + 11x – 4